Bogenlänge bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 03.12.2021 um 02:03

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Ich habe die Funktion (1+0,017x^2)^1/2 dx und muss daraus nur noch die stammfunktion ermitteln um die Bogenlänge herauszufinden! Wie geht das?

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Hallo,
das Integral zu lösen geht am einfachsten mit trigonometrischer Substitiution: \(\frac{2}{15}x=\tan{u} \Rightarrow dx=\frac{15}{2}\sec^2{u}du\). Jetzt in das Integral einsetzen: \(\frac{15}{2}\int{\sec^3{u}du}\). Jetzt musst du die Reduktionsformel für das Integral \(\int{\sec^n{x}dx}=\frac{\sec^{n-1}{x}\cdot\sin{x}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int{\sec^{n-2}{x}dx}\). Das jetzt auf unser Integral anwenden: \(\frac{15}{2}\int{\sec^3{u}du}=\frac{15}{2}(\frac{sec^2{u}\cdot\sin{u}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec{u}du)\). Das Integral von \(\sec{u}\) ist relativ bekannt, nämlich \(\ln({\tan{u}+\sec{u}})\). Damit erhält man: \(\int{\sqrt{1+(\frac{2}{15}x)^2}dx}=\frac{15}{2}(\frac{\sec^2{u}\cdot \sin{u}}{2}+\frac{1}{2}\ln(\tan{u}+\sec{u}))\). Jetzt gilt \(\sec{u}\cdot\sin{u}=\tan{u}\), und nach Rücksubstitution mit \(u=\arctan{\frac{15}{2}x}\) erhält man wegen \(\tan({\arctan{z}})=z\) und \(\sec(\arctan{z})=\sqrt{z^2+1}\): \(\frac{15}{2}(\frac{1}{2}\frac{2}{15}x\cdot\sqrt{\frac{4x^2}{225}+1}+\frac{1}{2}\ln(\frac{2}{15}x+\sqrt{\frac{4x^2}{225}+1}))=\frac{1}{2}x\sqrt{\frac{4x^2}{225}+1}+\frac{15}{4}\ln({\sqrt{\frac{4x^2}{225}+1}+\frac{2}{15}x})\). Jetzt musst du nur noch die Werte einsetzen. Vielleicht durftet ihr bei der Aufgabe aber auch den Taschenrechner verwenden, das Integral ist, wie du sicherlich gemerkt hast relativ kompliziert.
LG
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