Koeffizienten einer Funktion dritten Grades bestimmen

Aufrufe: 406     Aktiv: 10.04.2023 um 20:37

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Nochmals eine Frage zu Polynomen. Es geht um folgende Aufgabe:


Mein Ansatz: Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen und mit der Mitternachtsformel prüfen, wann poitive Lösungen resultieren. Gibt es da einen effizienteren Weg?

Vielen Dank.

EDIT vom 04.04.2023 um 06:24:

Hier ist mein Lösungsansatz:

Jedoch komme ich mit der Mitternachtsformel nun doch nicht weiter...

Vielen Dank für einen Tipp!

gefragt

Student, Punkte: 79

 

Was ist denn Dein Ergebnis? Lade auch Deinen Rechenweg hoch, wenn Du uns nach effizienteren Wegen fragst.   ─   mikn 03.04.2023 um 17:13

Abgesehen davon ist $f'(x) \geq 0$ die mathematische Schreibweise für nicht-negativ, aber nicht die für positiv. Das ist aber ein Fehler in der Aufgabenstellung.   ─   crystalmath 03.04.2023 um 19:15

Ich habe nun oben noch meinen Lösungsansatz angefügt.   ─   jonase.gluch 04.04.2023 um 06:25
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2 Antworten
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Versetz dich nochmal in Klasse 9/10, Thema Parabeln bzw. quadratische Funktionen. Die Ableitung ist eine Parabel. Es gilt also $f'(x)>0$ für alle $x$, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt. Überlege dir also, wann beide Bedingungen erfüllt sind (eine davon ist trivial). Für die andere überlegst du dir nochmal, wie man das berechnet.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

In einer quadratischen Funktion mit der Grundform wäre dies für $a>0$ und $c>0$. In unserem Fall hier wäre somit $c \in \mathbb{R}$. Mit der Ableitung folgt $3b>0 \iff b>0 \in \mathbb{R}$. Wie kann ich $a$ jetzt noch berechnen?   ─   jonase.gluch 05.04.2023 um 14:09

Die Bedingung $c>0$ reicht nicht aus. Betrachte zum Beispiel $f(x)=x^2-3x+1$. Es geht hier um den Scheitelpunkt. Überlege, wie man diesen berechnen kann und was dann für $a$ und $b$ folgt.   ─   cauchy 05.04.2023 um 17:41

Eine der größten Probleme beim Helfen ist hier finde ich, dass wir nicht das Vorwissen von OP kennen. Es gibt sehr viele Wege, diese Aufgabe zu lösen. Welche von denen für dich verständlich ist, kann ich dir leider so nicht sagen. Wir könnenten ja auch das Polynom über $\mathbb{C}$ faktorisieren - elegant und schnell, aber vermutlich leider für OP nicht zielführend.   ─   crystalmath 05.04.2023 um 19:32

Der Scheitelpunkt für unsere Parabel ist $(-a, -3(a^2-b))$. Aber da bin ich ja nun wieder am Anfang? Die Parabel ist grösser Null (also die Steigung des Polynoms in allen Punkten positiv), wenn $-3(a^2-b)>0$. Bitte entschuldige, aber ich sehe hier überhaupt nicht durch.   ─   jonase.gluch 08.04.2023 um 14:58

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Entscheide Dich endlich mal, ob Du die Bedingung für $>0$ oder $\ge 0$ suchst. Dein Scheitelpunkt ist richtig, und wo ist nun Dein Problem? Du bekommst damit die gleiche (richtige) Bedingung, die Du auch vor 4 Tagen schon (fast) hattest.   ─   mikn 08.04.2023 um 16:17

Da es momentan nur schwer möglich ist, mit dem Fragi eine Antwort zu erarbeiten: Soll einer der Helfer eine vollständige Antwort posten, die wir dann zusammen durchgehen? Aktuell treten wir glaube ich auf der Stelle.   ─   crystalmath 09.04.2023 um 13:41

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@crystalmath 1. Fragy hat die Frage als beantwortet akzeptiert, d.h. alles geklärt. 2. Ich sehe nicht, dass wir dem Fragy mit unseren Angeboten hinterherlaufen müssen, wenn von dem nichts mehr kommt. In diesem Fall hat er klar signalisiert, dass alles geklärt ist. In anderen Fällen (hier auch häufig) tauchen die Fragys schlicht ab, weil sie kein Interesse mehr haben, die Lösung anderswo abschreiben konnten oder auch mal ein paar Tage keine Zeit haben sich drum zu kümmern. 3. Mit wem willst Du eine vollständige Lösung durchgehen, wenn Fragy den Dialog beendet hat?   ─   mikn 09.04.2023 um 13:49

@mikn Der Fragi hat auch nach seiner Antwort noch mehrere Fragen gestellt, die mich erheblich daran zweifeln lassen, ob die markierte Antwort verstanden wurde. Der Fragy hat, auch nach dem akzeptieren der Antwort, weiter Fragen gestellt und weiter Interesse gezeigt. Seine letzte Antwort war übrigens circa 24h vor deiner Antwort.

Abgesehen davon hat sich meine Frage nicht an dich gerichtet (sondern an den Fragy) und niemand verlangt, dass du dem Fragy hinterherläufst. Es war lediglich ein Angebot von meiner Seite her, was man annehmen, ignorieren oder explizit ablehnen kann.
  ─   crystalmath 10.04.2023 um 00:34

Wenn sich Deine Frage an den Fragy richtet, warum sprichst Du ihn in der 3. Person an ("...mit dem Fragi eine Antwort...")? Nach meiner letzten Rückfrage hat er sich nicht weiter gemeldet, das ist fast 2 Tage her. Wieso so gereizt? Ich hab meine persönliche Meinung gesagt und niemanden kritisiert.   ─   mikn 10.04.2023 um 12:01

Dieser Teil diente als Hinweis für andere Helfer - da der Konsens (und auch der Kodex) ist, dass man erst nachdem man mit dem Fragi interagiert hat und dies nicht zuelführend war, eine vollständige Lösung.   ─   crystalmath 10.04.2023 um 12:04

@crystalmath ich verstehe den Kodex anders, den Lösungsweg ausführlich beschreiben ist in meinen Augen nicht gleichzusetzen mit liefern einer vollständigen Lösung   ─   maqu 10.04.2023 um 12:49

@mikn Ich spiele auf den Punkt "wenn möglich die Lösung mit dem Fragensteller zusammen zu erarbeiten oder andernfalls den Lösungsweg ausführlich zu beschreiben, um das Verständnis zu sichern." an. Ausführlich zu beschreiben lässt aber Interpretationsspielraum, für mich heißt das Musterlösung.   ─   crystalmath 10.04.2023 um 12:56

Durch eine Musterlösung lernt man nichts, wie fast alle Fragen mit Lösung hier zeigen. Ich verstehe auch nicht, wieso einige so scharf darauf sind, Musterlösungen zu liefern. Möchte man zeigen, wie toll man ist? Ich verstehe auch nicht, wieso in letzter Zeit immer so penibel auf dem Kodex herumgeritten wird.

Die Interaktion mit dem Fragy war sehr wohl zielführend. Es ist ja fast bis zum Ende gekommen. Wenn dann keine Rückmeldung mehr kommt und die Frage abgehakt wird, sollte ja alles geklärt sein.
  ─   cauchy 10.04.2023 um 20:37

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Hinweis: $$3x^2+ 6ax +3b$$ hat Diskriminante $D=36(a^2-b)$. Was bedeutet die Diskriminante für die Nullstellen?

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Punkte: 487

 

Wenn die Diskriminante negativ ist, hat diese Funktion keine Extremstellen. Dies ist der Fall, welcher uns interessiert. Somit $a^2-b < 0 \iff a < {\displaystyle \pm} \sqrt{b}$.

Ich sehe jedoch nicht, wie ich die Bedingung der positiven Steigung erfüllen kann.
  ─   jonase.gluch 04.04.2023 um 10:47

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Zunächst mal ist $a^2\lt b$ nicht äquivalent zu $a< \pm b$. Das hängt von einigen Bedingungen ab, und um die geht es hier ja gerade.
Wenn Du eine Bedingung gefunden hast, dass $f'(x)$ nie 0 wird, ist $f'(x)$ also stets $>0$ oder stets $<0$. Den für Dich interessanten Fall kannst Du durch Einsetzen eines Werts testen.
  ─   mikn 04.04.2023 um 12:24

Ein genereller Tipp: Wenn du dir unsicher bist, argumentiere lieber elementar. Das Diskriminantenargument ist schnell und elegant, aber setzt etwas Vorwissen voraus. Lass uns stattdessen deinen Ansatz doch mal anschauen: Was sagt die Mitternachtsformel denn aus?   ─   crystalmath 04.04.2023 um 13:53

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