Stetigkeit Beweisen

Aufrufe: 398     Aktiv: 25.05.2022 um 09:03

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Funktion g: R^2-> R:
g(x,y)= { 0 falls (x,y) = (0,0),
(xy(x+y))/(x^2+y^2), in allen anderen Fällen

Zu Beweisen ist, dass g auf dem ganzen R^2 stetig ist. Was ist hierbei die Herangehensweise?
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Moin,
ihr habt sicher ein paar Funktionen eingeführt, die stetig sind, und außerdem, dass die Komposition stetiger Funktionen stetig ist. Die einzige Stelle, an der du Stetigkeit zeigen musst, ist daher \((x,y)=(0,0)\). Dfür kannst du entweder zeigen, dass der Grenzwert gegen 0 geht, oder du arbeitest direkt mit der Definition der Stetigkeit.
LG
Edit: Die Koordinatenabbildung ist \(\pi_\mu: K^d\rightarrow K\) mit \((x_1,...,x_d)\mapsto x_{\mu}\) und \(\mu \in\{1,...,d\}\). Das ist insofern hilfreich, als dass man damit zeigen kann, dass z.B. die Funktion \(f(x,y,z)=x^2y-zx\) stetig ist (gerade weil die Koordinatenabbildung, dh. \((x,y,z)\mapsto x\), y oder z stetig sind. Da f eine Komposition dieser Funktionen ist, ist sie stetig)
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Student, Punkte: 2.67K

 

Also für 0 läufts gegen 0, da die Funktion unabhängig vom Funktionswert immer 0 ist. Den Anfang mit der Komposition hab ich jetzt noch nicht ganz verstanden   ─   nutzer123 23.05.2022 um 21:39

Ihr habt in der Vorlesung doch bestimmt gezeigt, dass die Koordinatenabbildung stetig ist. Außerdem wird (i.d.R. über das Folgenkriterium) gezeigt, dass die Kompositionen stetiger Funktionen ebenfalls stetig sind. Die Funktion ist für \(x\neq0\) eine Komposition der Koordinatenabbildung, demnach stetig. Du musst also noch die Stetigkeit in \((0,0)\) zeigen. Dass kann man entweder direkt über die Stetigkeitsdefinition \((\epsilon - \delta)\) oder darüber, dass wenn \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=f(0,0)\) gilt, die Funktion in (0,0) stetig ist, was ja zu zeigen war. Du musst also im einfachsten Fall zeigen, dass der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\) gegen 0 geht.   ─   fix 23.05.2022 um 22:21

Kann man das auch rechnerisch nachweisen? Oder ist das zu aufwendig?   ─   nutzer123 24.05.2022 um 11:35

Das hat dir fix doch gerade erklärt. Aber hier kann man grundsätzlich mit Epsilontik (bei einem festen Punkt ist Aufwand noch überschaubar) oder Folgen gut argumentieren. Ich schlage vor wir nehmen uns Nullfolgen \((x_n)_n\) und \((y_n)_n\) und zeigen \(|g(x_n,y_n)|\to 0\)   ─   mathejean 24.05.2022 um 11:54

Ich verstehe leider immer noch nicht was gemeint ist. Also soll ich zwei Nullfolgen einsetzen in die Funktion und das beweist, dass die Funktion gegen 0 läuft?   ─   nutzer123 24.05.2022 um 15:55

Ja, aber allgemeine Nullfolgen. Ich habe Betrag drum gemacht, damit wir auch abschätzen können, ansonsten wissen wir ja am Ende nur, dass der Grenzwert negativ oder 0 ist, bei Betrag ist es dann 0. Es ist einfach nur Konvergenzbeweis, hast du sicher schon in Analysis 1 gemacht, hier ist nichts anders   ─   mathejean 24.05.2022 um 18:29

Ich bin leider insgesamt verwirrt. Könntest du das noch mal von Anfang an erklären? Für 0,0 folgt aus der Definition ja das der lim x,y->0,0 = 0 ist. In den anderen Fällen ist der Term gegeben. Ich weiß jetzt nicht was mit der Koordinatenabbildung oder der Komposition daraus gemeint ist, kann ich nicht einfach den lim x,y-> unendlich, unendlich berechnen oder ist das hier sinnlos?   ─   nutzer123 24.05.2022 um 19:29

Koordinatenabbildung (braucht man auch eigentlich nur bei abstraketeren \(\mathbb{R}\)-Vektorräumem) und Komposition habe ich gar nicht gesagt (was fix damit meint ist wahrscheinlich, dass Konvergenz in \(\mathbb{R}^n\) komponentenweise ist). Ich gebe dir einen Anfang: Seien \((x_n)_n\) und \((y_n)_n\) Nullfolgen, dann ist \(|g(x_n,y_n)|=\ldots \leq \ldots \leq \ldots \to 0\)   ─   mathejean 24.05.2022 um 19:46

@fix habe den Edit erst jetzt gesehen, das ist aufjedenfall kein gängiger Name für diese Abbildung. Meistens sagt man ehr Projektion, schau mal hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Produkt_und_Koprodukt Koordinatenabbildung sagt man meist zu dem Isomorphismus \(c_B:V \to K^n\), wobei \(c^{-1}(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)=\lambda_1v_1+\ldots +\lambda_nv_n\) bezüglich einer Basis \(B=(v_1,\ldots, v_n)\)   ─   mathejean 24.05.2022 um 20:25

Also xn und yn laufen gegen im unendlichen gegen Null und sind nicht unbedingt Null. Also würde man die beiden Nullfolgen in den Term einsetzen, (xn*yn(xn+yn))/(xn^2+yn^2) ?   ─   nutzer123 24.05.2022 um 20:30

Ja, sehr gut! Jetzt muss man nur noch zeigen, dass dieser Ausdruck gegen 0 geht. Um abschätzen zu können sollten wir Betrag drum machen.   ─   mathejean 24.05.2022 um 21:15

@mathejean Das wusste ich nicht, bei uns in der Vorlesung (wo i.d.R. kanonische Notation benutzt wird), wurde sie so genannt.. Die aus der Algebra eingeführte Abbildung war mir zwar bekannt, es doppeln sich ja aber mitunter die Namen   ─   fix 24.05.2022 um 21:16

Gegen welchen Wert? Für xn, yn gegen unendlich oder gegen 0   ─   nutzer123 24.05.2022 um 21:21

Gegen unendlich, du hast jetzt wie in Analysis 1 eine Folge \(\Big(\frac{x_ny_n(x_n+y_n)}{x_n^2+y_n^2} \Big)_n\) und musst zeigen, dass es eine Nullfolge ist   ─   mathejean 25.05.2022 um 09:03

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