Beweise mit Mengen

Aufrufe: 851     Aktiv: 25.09.2021 um 21:15
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Hallo,

Es gilt, diese Äquivalenzen zu zeigen. Nun ist meine Frage: Was ist hier der Ansatz bzw. wie geht man bei sowas vor?

Vielen Dank für eure Antworten! :-)


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Student, Punkte: 79

 
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Es geht hier sogar noch einfacher als der Standartweg über beide Inklusionen einzeln. Du kannst hier ganz einfach Äquivalenzumformungen verwenden, übersetze die Ausdrücke dann einfach in Aussagenlogik und dann siehst du sofort die Lösung: $$x\in A\cap(B \cup C)\Leftrightarrow x\in A \land (x\in B \lor x\in C)\Leftrightarrow (x\in A\land x\in B) \lor (x\in A \land x\in C)\Leftrightarrow \dots$$
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Student, Punkte: 10.87K

 
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Ich als Korrektor würde mich freuen sowas zu sehen, als zwei mal 1 zu 1 das selbe nur andersherum...   ─   mathejean 24.09.2021 um 13:58
Vielen Dank! Könntest Du mir trotzdem noch erklären, wie es weitergeht? Für mich ist das neu und ich sehe die Lösung noch nicht sofort.   ─   jonase.gluch 25.09.2021 um 10:25
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Bei welcher Beweismethode auch immer werden aussagenlogische Operatoren benutzt!!   ─   gerdware 25.09.2021 um 11:51
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Leg dir einfach mal ein Blatt mit der Definition von Mengenoperationen daneben, dann sollte das schon irgendwie klappen....   ─   mathejean 25.09.2021 um 21:15

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Hallo,

für die Gleichheit von zwei Mengen zeigt man immer, dass die Mengen jeweils Teilmengen von einander sind. Zeige also
$$ A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
und
$$(A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A \cap (B \cup C) $$
Um das zu zeigen, zeigst du wenn ein $x \in  A \cap (B \cup C)$, dann ist auch $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)  $. 

Grüße Christian
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