Surjektivtät berechnen

Erste Frage Aufrufe: 192     Aktiv: 20.10.2023 um 01:03

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Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich habe verstanden, das 0-7 der Definitionsbereich ist und 0-2 der Wertebereich ist. Mir fehlt nun ein Ansatz wie ich weiter komme.

Die Tanzschule SurInBi in Unendlichland beginnt einen neuen Tanzkurs. Die Damen und Herren erhalten jeweils eine Nummer. Dabei gibt es zu jeder reellen Zahl x Element von [0;7] einen Herren und zu jeder reellen Zahl y Element von [0;2] eine Dame. Nun überlegen die Tanzkurs-Leiter, wie sie die Tanzpaare zusammenstellen sollen. Sura schlägt eine Zuteilung gemäß y=a1(x-1)^2 vor, Suri schlägt eine Zuteilung gemäß y= a2*x*(x-7) vor. Wie müssen a1 und a2 gewählt werden, damit die Zuordnung anständig definiert und surjektiv ist, also jede Dame zum Tanz aufgefordert wird?

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Am Beispiel von Suras Vorschlag sei es erklärt.
Sei \(f(x) = a_1 (x-1)^2 \).
Idee:
1. Berechne das Minimum und das Maximum von f in [0,7].
2. Dann wähle \(a_1\) so, dass beim Minimum y=0 gilt, und beim Maximum y=2 gilt.

Als Minimum und Maximum kommen in Frage:
1. Die Intervallränder, also x=0 und x=7
2. Alle Punkte mit \(f'(x)=0\). Das ist bei x=1 der Fall. Hier muss noch checken, ob x im Intervall [0,7] liegt. Ja, tut es.
Kandidaten für Minimum und Maximum sind also: x=0,1 und 7.
Für diese Kandidaten berechne ich f: Es ist \(f(0)=a_1,\; f(1)=0, \;f(7)=36a_1\).
\(a_1\le 0\) kommt nicht in Frage, denn dann wäre x=1,y=f(1)=0 das Maximum, aber im Maximum war ja y=2 gefordert.
Also muss \(a_1>0\) sein.
Minimum ist also: x=1, y=0 
Maximum ist also: x=7, \(y=36 a_1\).
Beim Minimum ist immer, wie gefordert, y=0.
Beim Maximum muss y=2 gelten, also: \(2=36 a_1\).

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