Ist die Einheitengruppe eines Monoids auch eine Gruppe?

Aufrufe: 254     Aktiv: 25.05.2022 um 12:41

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Die Frage steht eigentlich schon so gut wie im Titel 

Wenn M ein Monoid ist und E(M) die Menge der invertierbaren Elemente, bedeutet das auch das E(M) eine Gruppe ist ?
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Ja, sehr gut!
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Ja danke für die Antwort aber meine Frage war eigentlich so gemeint ob und wenn ja warum E(A) eine Gruppe ist?
E(A) müsste ja
Assoziativ, abgeschlossen sein, und ein neutrales und inverses haben. Aber wie zeig oder begründe ich das
  ─   gyomei 25.05.2022 um 11:43

Wenn ihr das für Ringe gezeigt habt, ist es genau der selbe Beweis (wenn du genau hinsiehst, wurden hier nur ausgenutzt, dass die Multiplikation ein Monoid ist).
Ansonsten zeige, dass \(E(M)\) ein Untermonoid von \(M\) ist, die Gruppeneigenschaft folgt dann aus der Definition von \(E(M)\)
  ─   mathejean 25.05.2022 um 11:46

Also Ringe und den Begriff Untermonoid haben wir noch nicht behandelt. Die Aufgabenstellung besteht wirklich nur aus dem was ich geschrieben habe   ─   gyomei 25.05.2022 um 11:50

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Okay, dann etwas elementarer: die Assoziativität ist klar, weil \(E(M)\subseteq M\) ist. Auch ist klar, dass \(1\in E(M)\) und dies ist offensichtlich neutral für alle \(a\in E(M)\). Es bleibt zwei Sachen zu zeigen: 1. Abgeschlossenheit und 2. Inverse

1. Nehme dir \(a,b \in E(M)\) und zeige, dass \(ab\) dann invertierbar ist, woraus \(ab\in E(M)\) folgt.
2. Das folgt sofort aus derDefinition von \(E(M)\)
  ─   mathejean 25.05.2022 um 11:55

also nochmal ganz genau : : Sei M ein Monoid. Dann ist die Menge der invertierbaren Elemente
E(M) die Einheitengruppe zu M

Sei G eine Menge mit einer Verknupfung ¨ ◦. Wenn ◦ assoziativ ist,
es ein rechts-neutrales Element in G gibt und zu jedem Element in G ein rechtsinverses Element existiert, dann ist G eine Gruppe.

Sei M ein Monoid. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
Die Einheitengruppe nach Definition ist eine Gruppe nach Definition
  ─   gyomei 25.05.2022 um 11:56

Danke für die Antwort, Bedeutet das auch, dass E(M) unendlich viele Elemente hat, wenn M unendlich viele hat? Oder ist das so, da M ein Monoid ist und keine inversen Elemente hat, hat E(M) nur 1 Element und zwar das neutrale Element   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:04

Schau dir mal den Monoid \((\mathbb{Z},\cdot)\) mal an, was ist denn hier die Einheitengruppe?   ─   mathejean 25.05.2022 um 12:08

1 und -1   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:11

Genau!   ─   mathejean 25.05.2022 um 12:11

Ja gut aber die Menge M ist ja nicht genau bestimmt. So kann ich nicht so einfach sagen wie viele Elemente die Einheitengruppe hat   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:13

Ja, sehr gut! Es gibt auch unendliche Monoide mit unendliche Einheitengruppe (mit echter Inklusion), mir fallen aber gerade keine Elementarenbeispiele ein. Wenn ihr irgendwannmal Ringe gemacht hat, kann ich dir einfache geben (Lokalisierungen)   ─   mathejean 25.05.2022 um 12:16

ok danke. Das ist mir alles etwas klarer geworden. Was mich nur wundert ist doch das ein Monoid keine inversen hat und somit E(M) nur aus dem neutralen Element bestehen müsste oder nicht   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:20

Nein, ein Monoid kann auch (unendlich viele) Inverse haben, ist sogar in der Ringtheorie sehr wichtig. Aber nach Definition ist jede Gruppe z.B. auch ein Monoid   ─   mathejean 25.05.2022 um 12:24

Das ist komisch weil wenn ich online nach gruppen suche kommt raus das ein Monoid nur assoziativ, abgeschlossen ist und ein neutrales Element vorliegt. Eine Frage in der Aufgabenstellung war auch wenn M unendlich viele Elemente hat dann hat E(M) das auch. Ich hab das verneint weil ich dachte Monoide haben keine inversen   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:29

Die Eigenschaft wird nicht von Inversen gefordert, also haben sieauch keine im Allgemeinen. Vielleicht hilft das: jede Gruppe ist ein Monoid, aber nicht jeder Monoid eine Gruppe. Vergleiche das ruhig mit Vererbung aus der Programmierung/Informatik, solche Konzepte gibt es in der Mathematik auch   ─   mathejean 25.05.2022 um 12:33

okay danke   ─   gyomei 25.05.2022 um 12:41

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