Komplexe Abbildungen, Berechnung einer Kreisline k‘

Aufrufe: 288     Aktiv: 13.03.2023 um 23:39

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Kann mir jemand bitte erklären, wie man Aufgabe d) löst? Ich verstehe es nicht...

EDIT vom 13.03.2023 um 22:19:

Hier der Rechenweg.
gefragt

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Es ist eine Punktmenge gegeben, nämlich die Kreislinie $k=\{ (x,y) | x^2+y^2=9\}$. Behauptet wird, dass die Menge $f(k)=\{ f(x,y) | (x,y)\in k\}$ auch eine Kreislinie ist, die wird dann $k'$ genannt. Hier hab ich $(x,y)$ geschrieben, ist gleichbedeutend mit $z=x+i\,y$. Also rechne für die Punkte in $f(k)$ Real- und Imaginärteil aus und zeige, dass diese auch auf einer Kreislinie liegen (mit irgendeinem Mittelpunkt, irgendeinem Radius).
Also los.
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Ich habe den Real- und Imaginärteil von f(z) berechnet. Wie komme ich nun aber auf Real- und Imaginärteil von f(k)?   ─   robi11 13.03.2023 um 18:43

Ok.... das musstest Du ja für c) sowieso machen. Es gibt aber vielleicht auch elegantere Wege. Erstmal ist die Abbildung aber gar nicht linear (sonst wäre es recht einfach den neuen Kreis auszurechnen). Es ist aber eine Möbiustransformation. Habt Ihr Sätze dazu gehabt?   ─   mikn 13.03.2023 um 19:20

Nein, wir haben nichts zu Möbiustransformationen gemacht. In den Lösungen steht u = (25+5x)/(13+4x) und v= 7y/(13+4x). Wie kommt man aber auf dieses u/v?   ─   robi11 13.03.2023 um 19:25

Du hast gesagt, Du hast u und v berechnet. Was hast Du denn raus? Lösungen sind zur Kontrolle, wenn wir komplett(!) fertig sind - vorher nicht.   ─   mikn 13.03.2023 um 19:42

Mein u/v von c) ist richtig… dies sind u/v von d), um weiter zu rechnen. (Und mir ist eben nicht klar, wie man auf diese kommt)   ─   robi11 13.03.2023 um 20:26

Nochmal: Wie lautet Dein u und v? Bitte mit Rechenweg, denn es könnte was falsch sein (Bild hochladen, oben "Frage bearbeiten"). u,v aus c) und d) (wenn man es für d) braucht) sind ja dieselben.   ─   mikn 13.03.2023 um 21:56

Hab den Rechenweg für u/v hinzugefügt.   ─   robi11 13.03.2023 um 22:20

Ok. Das scheint richtig. Für d) betrachten wir aber nicht mehr irgendein $(x,y)$, sondern ein $(x,y)\in k$. Setz das mal ein.   ─   mikn 13.03.2023 um 22:30

Was genau soll ich einsetzen? X^2+y^2=9?   ─   robi11 13.03.2023 um 22:44

Was denn sonst? Es gibt doch nur diese eine Bedingung.   ─   mikn 13.03.2023 um 22:51

Ja, logisch… Ich war einfach von den Formulierungen verwirrt. Nun komme ich auch auf u/v von den Lösungen und weiss wie weiterrechnen. Kennst Du vielleicht noch gute Videos zu diesem Thema, da ich nicht überall sattelfest bin… Falls ja, gerne teilen :)   ─   robi11 13.03.2023 um 23:18

Mit videos kenne ich mich nicht aus. Ich hatte Dich gleich so verstanden, dass Dich der Satz "Die Bildkurve der Kreislinie.... ist eine Kreislinie." verwirrt. Ich vermute Du hast manche Begriffe nicht verinnerlicht. Mach Dir klar, eine Funktion (d.h. Abbildung) bildet etwas (hier Kreislinie k) ab in was anderes (hier Kreislinie k'). Daher heißt es ja "Abbildung". Das "Bild" sind dann die Funktionswerte.
E-Techniker/Informatiker sagen da: Input -> Output. Der Funktionsbegriff ist so was von zentral in der Mathematik, und viele haben es nicht verstanden.
Die Funktion hier ist ein Beispiel für eine Möbiustransformation. Diese sind "kreistreu", d.h. Kreis rein, Kreis raus. Auch geradentreu (Gerade rein, Gerade raus). Versuch immer in Input-Output zu denken, dann wird alles mit Funktionen schon viel klarer.
Wenn alles geklärt ist, hake die Frage bitte als beantwortet ab (Anleitung siehe e-mail). Sonst frag nochmal nach.
  ─   mikn 13.03.2023 um 23:39

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