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Dies ist eine sogenannte "Nulladdition", wenn man den selben Term hinzufügt und selben Moment wieder abzieht, verändert man im gesamten den Term nicht. Ein Trick der auch häufig in anderen Beweisen oder z.B. Grenzwertuntersuchungen mit $\varepsilon$-$\delta$-Definition benutzt wird. In der Schule wird das Prinzipg bereits auch bei der quadratischen Ergänzung angewendet.

Warum wurde dies gerade mit $u(x)\cdot v(x)$ gemacht? Weil man weiß wo man hinmöchte und um die Definition der Ableitungen $u'(x)$ und $v'(x)$ anwenden zu können fehlen jeweils genau diese Terme.