Bijektivität einer multivariablen Funktion zeigen

Aufrufe: 123     Aktiv: 01.11.2021 um 13:44

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Hallo, 

habe folgende Funktion: \(N \times N \rightarrow N_{>0}, f(a,b) = (2a+1)2^b\)

Injektivität zeigen: 

Sei \(f(a_1, b_1)=f(a_2,b_2)\) Zu zeigen: \(a_1 = a_2\) und  \(b_1 = b_2\)
\(2a_1 + 1 = 2a_2 +1 \rightarrow a_1 = a_2\)
\(2^{b_1} = 2^{b_2} \rightarrow b_1 = b_2\) 

Wäre das ein gültiger Beweis für die Injektivität?

Surjektivität zeigen: 

Sei \(y \in N_{>0} \) beliebig. Zu zeigen \( \exists x \in N f(x) = y\)

\(f(a,b) = y \rightarrow (2a+1)2^b = y ...\) ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

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Hallo,

nein das kann man so nicht machen. Es folgt
$$ \begin{array}{cccc} & f(a_1,b_1) & =&  f(a_2 , b_2) \\ \Rightarrow & (2a_1+1)2^{b_1} & = & (2a_2+1)2^{b_2} \end{array} $$
Du kannst diese Gleichungen nicht aufspalten. 
Der Trick hier in der Aufgabe liegt darin, dass wir nur natürliche Zahlen abbilden.
Betrachte die Gleichung mal nach folgender Umformung. O.b.d.A nehmen wir an, dass $b_1 \geq b_2$
$$ \Rightarrow (2a_1+1)2^{b_1-b_2} = 2a_2 +1 $$
Bedenke nochmal, dass wir hier natürliche Zahlen einsetzen. Was für eine Zahl haben wir links und was für eine Zahl haben wir rechts? Was folgt sofort daraus?

Grüße Christian
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Für was genau steht O.b.d.A? Links haben wir eine gerade Zahl und rechts eine ungerade Zahl? Das kann nicht stimmen?   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 16:36

Achso sorry. O.b.d.A steht für Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Man schreibt das, wenn man eine Fallunterscheidung macht, in der der andere Fall komplett analog abläuft. Dann spart man sich Schreibarbeit. Der Fall $b_2 \geq b_1$ läuft genauso ab, nur das wir $2^{b_1}$ dieses mal auf die andere Seite holen. Das machen wir immer, damit $b_1-b_2$ bzw $b_2 -b_1$ positiv ist. Denn nur dann haben wir links (bzw. im zweiten Fall rechts) eine gerade Zahl und auf der anderen Seite eine ungerade Zahl.

Aber genau, so ist es. Diese Gleichung kann also nur unter einer Bedingung aufgehen. Welche ist das?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 16:49

\(b_1 = b_2\) ? Damit die Gleichung links auch ungerade sein kann?   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 19:03

Ja genau. Denn dann ist $2^{b_1-b_2} = 2^0 = 1$.
Nun können wir die Gleichung weiter betrachten. Wir haben dort nun
$$ 2a_1 + 1 = 2a_2 +1 $$
stehen. Und das hast du ja so gesondert bereits betrachtet. Daraus folgt also nach umstellen $a_1 = a_2$ und wir haben die Injektivität gezeigt :)
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 19:07

Alles klar, danke :)   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 20:08

Wie muss ich bei der Surjektivität vorgehen?   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 20:09

Bei der Surjektivität gehen wir auch am besten zweiteilig vor.
Wir teilen die natürlichen Zahlen mal in die geraden und ungeraden Zahlen auf.
Wie schaffen wir es alle geraden Zahlen zu erreichen? Wie schaffen wir es alle ungeraden Zahlen zu erreichen?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 20:36

Indem wir wieder eine Fallunterscheidung machen?   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 21:15

Ja im Grunde machen wir das, aber wie sehen diese Fallunterscheidungen aus.
Wie kann man eine gerade Zahl ganz allgemein ausdrücken?
Wie kann man eine ungerade Zahl ganz allgemein ausdrücken?
Welche Ähnlichkeit siehst du zu der Funktionsgleichung?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 21:26

Gerade Zahl wäre \(2n \), wobei n eine natürliche Zahl ist. Ungerade Zahl wäre \(2n+1\). \(2n+1\) kommt in der Funktionsgleichung auch vor.   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 21:32

Ja das ist doch schon mal sehr gut. Also durch den Teil $2a+1$ können wir alle ungeraden Zahlen erreichen. Was muss denn $b$ sein, damit wir nur noch $2a+1 $ dort stehen haben?   ─   christian_strack 26.10.2021 um 21:34

b muss 0 sein.   ─   mathematikmachtspaß 26.10.2021 um 21:40

Ja genau. Also wenn $b=0$ ist, dann bilden wir gerade auf die ungeraden natürlichen Zahlen ab.
Ne Idee wie man auf die geraden Zahlen abbilden könnte?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 23:42

\(-1\) auf beiden Seiten, dann steht: \(2a_1= 2a_2\)   ─   mathematikmachtspaß 27.10.2021 um 06:52

Wir betrachten gerade nicht zwei verschieden Funktionswerte. Es gibt also nur
$$ f(a,b) = (2a+1)2^b $$
WIr haben jetzt erkannt, dass die Funktion
$$ f(a,0) = 2a+1 $$
auf die ungeraden Zahlen abbildet. Findest du eine weitere "Teilfunktion, damit wir auf die Geraden Zahlen abbilden? (Als Tipp, zwei gerade Zahlen müssen wir gesondert betrachten).
  ─   christian_strack 27.10.2021 um 11:34

Ich hätte jetzt gesagt, dass die 1 irgendwie weg muss. Wie genau ist das gemeint, dass wir hier die Zahlen gesondert betrachten müssen?   ─   mathematikmachtspaß 27.10.2021 um 12:25

Also ich wollte wie bei $f(a,0)$ eine Teilfunktion finden, die auf die geraden Zahlen abbildet. Mir fällt aber gerade auf, dass das doch etwas mehr braucht als nur eine weitere Teilfunktion.

Versuchen wir mal den folgenden Gedanken:
Wenn ich eine gerade Zahl nehme und diese durch 2 teile, erhalte ich entweder eine ungerade oder eine gerade Zahl.
Die geraden Zahlen die geteilt durch 2 eine ungerade Zahl ergeben, wie könntest du die mit deiner Funktion erzeugen?
  ─   christian_strack 27.10.2021 um 14:14

\(\frac{c}{2^b}\) ?   ─   mathematikmachtspaß 29.10.2021 um 14:24

Ne das meinte ich nicht. Du hast den richtigen Gedanken, aber gehst von der anderen Richtung an das was ich meine.
Wir haben eine gerade natürliche Zahl. Diese teilen wir durch 2 und erhalten eine ungerade Zahl.
Wie können wir eine ungerade Zahl allgemein darstellen (haben wir hier in der Frage schon getan)? Was ist die Umkehrung von "durch 2 teilen"?
  ─   christian_strack 30.10.2021 um 13:11

Ich versteh nicht ganz worauf das hinauslaufen soll^^ Umkehrung von "durch 2 teilen" wäre "mal 2 nehmen"?
  ─   mathematikmachtspaß 30.10.2021 um 20:42

Ja genau. Ich meinte das wir so eine gerade Zahl durch $ (2a+1)\cdot 2$ darstellen kann.
Wenn jetzt eine Zahl durch 2 geteilt wieder eine gerade Zahl ergibt und diese dann beim dividieren durch 2 eine ungerade Zahl, wie könnten wir das darstellen?
Siehst du worauf das hinaus läuft?
  ─   christian_strack 01.11.2021 um 13:44

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