Konvergenz Folgen

Aufrufe: 127     Aktiv: 09.11.2021 um 21:50

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kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider habe ich gar keinen Ansatz dafür 

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Student, Punkte: 109

 

kann mir keiner helfen...?   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 18:41
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Du hast doch sicher eine Definition für konvergente Folgen.

\(A \Leftrightarrow B\) zeigt man, indem man zeigt \(A\Rightarrow B\) und \(B\Rightarrow A\).

pn heißt ja \(p\cdot n\), also z.B. wäre dann die Zahlenfolge \((a_{2n})\), jedes zweite Folgenglied von \(a_n\).

Wenn du das alles hast, überlegst du dir, ob dir dafür ein Beispiel einfällt, für das das nicht gilt. Dann hättest du ein Gegenbeispiel. Sonst musst du dir überlegen, wie du aus all deinen Informationen den Beweis führst.
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aber ein Gegenbeispiel bringt mir ja nicht für den beweis oder?   ─   anonymf76f7 08.11.2021 um 21:56

Wenn die Aussage gilt, bringt die ein Gegenbeispiel nichts. Wenn die Aussage nicht gilt, dann ist ein passendes Gegenbeispiel ein Beweis. Man muss also erstmal eine Vermutung anstellt, ob die Aussage gilt oder nicht, denn die Frage lautet ja "Gibt es..." und nicht "Beweisen Sie, dass ... gilt." Es ist also noch gar nicht klar, ob die Aussage gilt oder nicht.   ─   cauchy 08.11.2021 um 22:00

Gefühlsmäßig musst du einen Widerspruchsbeweis führen. Also eine Folge finden, die nicht konvergiert, aber die beiden anderen Folgen konvergieren. Aber ganz durchdacht habe ich das noch nicht. Stichwort alternierende Folge.   ─   lernspass 08.11.2021 um 22:17

ja daran habe ich auch schon gedacht, aber da p>1 und q>1 fällt mir kein passendes Beispiel ein. und ich dachte mit der aussage "gibt es..." reicht ein Gegenbeispiel nicht, da es für andere werte vielleicht passen kann...   ─   anonymf76f7 08.11.2021 um 22:50

Ausschlaggebend ist hier aber auch das "für alle Zahlenfolgen".   ─   cauchy 08.11.2021 um 22:51

Ja ok das stimmt, so habe ich das noch nicht betrachtet… ich weiß auch so vom Prinzip was ich machen soll aber so ein Ansatz fehlt mir trotzdem irgendwie   ─   anonymf76f7 08.11.2021 um 23:07

Wenn du annimmst, dass es p und q gibt, so dass für alle Zahlenfolgen die Äquivalenz gilt. Dann kannst du doch eine alternierende Folge nehmen. Die konvergiert doch nicht. Wenn du aber die Folge in die negativen und positiven Teilfolgen zerlegst, konvergieren diese. Jetzt überlegst du dir halt noch, dass p entweder gerade oder ungerade ist und q auch. Was bedeutet das jetzt für deine Teilfolgen?   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:14

(-1)^gerade --> Limes 1
(-1)ungerade --> Limes -1

somit entsteht ein widerspruch zu der Annahme
  ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:20

aber das ist ja ein Beispiel und kein allgemeiner beweis   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:20

Ein Gegenbeispiel ist immer ein Beweis, der die Aussage widerlegt.   ─   cauchy 09.11.2021 um 21:29

Du mußt das jetzt natürlich noch Beweistechnisch richtig aufschreiben. Du fängst an mit angenommen, es gibt p und q, so dass.... für alle .... gilt. Dann schreibst du eine Folge auf, für die das nicht gilt. Wahrscheinlich brauchst du eine Fallunterscheidung mit p, q gerade/ungerade. Dann zeigst du jeweils, dass die Folgen \(a_{pn}\) und \(a_{qn}\) konvergieren, aber \(a_n\) nicht. Damit hast du einen Widerspruch und deine Annahme es gibt p und q ist widerlegt. Werde einfach mal kreativ und versuch das richtig aufzuschreiben.   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:29

ja wie man sowas allgemein beweist, das weiß ich aber ich komme irgendwie mit (an) nicht zurecht. Also mit einem Beispiel kann ich das ganz leicht zeigen, das weiß ich auch aber nicht mit der allgemeinen folge   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:32

@cauchy aber ich kann auch annehmen, es gibt kein p,q>1. die aussage gilt aber wenn ich dann (an) mit 1/n wähle dann konvergieren die Teilfolgen doch auch automatisch   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:34

Wieso, du hast doch schon eine Folge aufgeschrieben. Die Folgenglieder sind -1, 1, -1, 1, ..... Schreib das doch einfach für \(a_n\) korrekt auf.   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:34

ich verstehe das irgendwie nicht also an und -an oder wie?   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:38

Nein \(a_n = (-1)^n\)   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:39

oder ist es so gemeint:
an:= (-1)^n
  ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:39

Ja   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:40

und dann sage ich, dass diese Folge nicht konvergiert, die Teilfolgen jedoch schon?   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:41

aber für die folge 1/n würde doch die aussage stimmen oder nicht?
  ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:46

Das ist doch egal. Es soll doch für alle Folgen gelten und du hast eine Folge, für die das nicht gilt.   ─   lernspass 09.11.2021 um 21:47

ahhhhhh ja dankeeeee!!!!!!!!!!   ─   anonymf76f7 09.11.2021 um 21:50

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