Komplexwertige Lösungen in Polardarstellung

Erste Frage Aufrufe: 977     Aktiv: 30.11.2020 um 20:01
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Von dieser komplexen Gleichung sollen die Lösungen gefunden werden und in Polardarstellung angegeben werden.

 

Ich habe zuerst durch 2 geteilt, dann \( z^{2} = w\) substituiert.

Durch 2 -> \( z^{4} + 2(\sqrt{12} -2i)z^2 + 8 - 4\sqrt{12}i = 0  \)

Dann substituieren und zusammenfassen:  \(w^{2} + (4\sqrt{3} +4i)w + 8-4\sqrt{12}i = 0 \).

Wie genau würde ich hier dann weitermachen? Habe überlegt, direkt in pq-formel einzusetzen also
\( p = (4\sqrt{3} +4i), q = 8-4\sqrt{12}i \), bin dann aber nicht weitergekommen.

Kann mir jemand helfen und erklären, wie man auf die Lösungen kommt als Polardarstellung?

LG

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1 Antwort
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Setze doch die pq Formel einfach mal ein, um \(w\) zu bestimmen.  Den Radikanden, der dabei auftritt, schreibst Du am besten gleich in Polardarstellung, dann sehen wir weiter.

Übrigens hast Du noch einen Vorzeichenfehler nach dem Teilen durch \(2\).

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Also steht unter der Wurzel 0.
Also wäre es: \(4 (\cos({-\frac{\pi}{6}}) + i\sin({-\frac{\pi}{6}}) )\)   ─   ollowainbdo 30.11.2020 um 19:14
Ja, unter der Wurzel bekomme ich auch \(0\) raus. Aber \(w=-2\sqrt{3}+2\mathrm{i}\) hat eine andere Polardarstellung als Deine.   ─   slanack 30.11.2020 um 19:22
Ah, habe vergessen einmal \(\pi\) daraufzurechnen, da ja \( x < 0\) ist.
Also wäre es: \( w_{1,2} = 4 (\cos({\frac{5\pi}{6}}) + i\sin({\frac{5\pi}{6}}) )\)   ─   ollowainbdo 30.11.2020 um 19:39
Yo, sieht gut aus!   ─   slanack 30.11.2020 um 19:44
Beim zurück-substituieren würde man ja dann auch einfach nur dann +/- Wurzel auf w legen, oder?
Also \( +- \sqrt{4 (\cos({\frac{5\pi}{6}}) + i\sin({\frac{5\pi}{6}}) )} \) oder erinnere ich mich falsch?   ─   ollowainbdo 30.11.2020 um 19:47
Ja, ist richtig.   ─   slanack 30.11.2020 um 19:56
Perfekt, vielen Dank für die Hilfe.
Habs jetzt verstanden.

Eine schöne Woche noch!   ─   ollowainbdo 30.11.2020 um 19:57
Danke :)   ─   slanack 30.11.2020 um 20:01

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