Gaußklammer

Aufrufe: 70     Aktiv: 29.04.2021 um 20:35

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Hallo wie kann ich diese Aufgabe beweisen ?

x R \( \lceil x \rceil=-\lfloor -x \rfloor \)

x:= max{k Z | k x} ,
x:= min{k Z | k x} ,

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Student, Punkte: 14

 

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good enough for me! :D

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Das kommt drauf an auf welchem Fundament du bereits aufbauen kannst. Ich würde das in etwa so angehen:

\( -\lceil-x\rceil = -\text{min}\{ k\in \mathbb{Z} \mid k \geq -x \} = \text{max}\{ -k \in \mathbb{Z} \mid k \geq -x \} = \text{max}\{ k \in \mathbb{Z} \mid -k \geq -x \} = \text{max}\{ k \in \mathbb{Z} \mid k \leq x \} = \lfloor x \rfloor \)

  1. Für die erste Gleichung habe ich nur die Definition von \(\lceil \cdot\rceil\)  eingesetzt.
  2. Für die zweite Gleichung verwende ich \( -\text{min}A = \text{max}(-A) \). Das steht mit Sicherheit irgendwo in deinem begleitenden Skript. Ansonsten musst du das noch beweisen.
  3. Die dritte Gleichung erhältst du durch Substitition \(k_\text{neu} := -k\). Beachte, dass \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},f(k):=-k\) eine bijektive Funktion auf \(\mathbb{Z}\) ist.
  4. Verwende \(  -k \geq -x \quad \Leftrightarrow \quad k \leq x \)
  5. Definition von \(\lfloor \cdot \rfloor \).
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