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Hier ist vermutlich gesucht, die Lösung über die Produktregel für Grenzwerte zu finden.
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin(x) \cdot \cos (x)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin (x)}{x} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) \)
Dies ist möglich, da beide Grenzwerte auch existieren. Der Cosinus-Term ist trivial:
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) = \cos(0) = 1\)
Der Bruch-Term ist es zwar nicht, aber dafür einer der bekanntesten Grenzwerte überhaupt. Er u.a. rechtfertig es, Sinus-Terme in komplexen Ausdrücken (z.B. aus der Physik) für kleine Winkel mit $x$ zu approximieren.
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin(x)}{x} = 1\) $\Longrightarrow$ \( \sin(x) \approx x\) für $|x|\ll1$
Ein Video von Prof. Dr. Schaefer zur Herleitung dieser Identität verlinke ich dir unten.
Letztlich ergibt sich der gesuchte Grenzwert damit zu:
\( \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin (x)}{x} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) = 1 \cdot 1 = 1\)
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin(x) \cdot \cos (x)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin (x)}{x} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) \)
Dies ist möglich, da beide Grenzwerte auch existieren. Der Cosinus-Term ist trivial:
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) = \cos(0) = 1\)
Der Bruch-Term ist es zwar nicht, aber dafür einer der bekanntesten Grenzwerte überhaupt. Er u.a. rechtfertig es, Sinus-Terme in komplexen Ausdrücken (z.B. aus der Physik) für kleine Winkel mit $x$ zu approximieren.
\( \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin(x)}{x} = 1\) $\Longrightarrow$ \( \sin(x) \approx x\) für $|x|\ll1$
Ein Video von Prof. Dr. Schaefer zur Herleitung dieser Identität verlinke ich dir unten.
Letztlich ergibt sich der gesuchte Grenzwert damit zu:
\( \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow0} \frac {\sin (x)}{x} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow0} \cos (x) = 1 \cdot 1 = 1\)
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roman.st
Student, Punkte: 10
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@roman.st Es ist wohl an der Zeit für den Hinweis, dass wir hier im Forum helfen wollen die Lösung selbst zu finden. Nicht Lösungen vorzurechnen, weil das erfahrungsgemäß nicht hilft. Daher siehst Du hier von Helferseite oft Rückfragen - wir wollen den Frager da abholen wo er steht. Wenn keine Reaktion kommt, lässt das auf fehlendes Interesse schließen (z.B. weil eine KI schon eine Lösung geliefert hat).
Lies auch den Kodex (im Menu links). ─ mikn 09.01.2025 um 23:01
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