Permutationsgruppen

Aufrufe: 122     Aktiv: 12.11.2022 um 15:58

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Hallo,
ich brauche bei folgender Aufgabe hilfe:


Mein Problem fängt schon bei der a) an. Ich weiß das die S14 aus allen möglichen kombinationen der Zahlen 1 bis 14 besteht. Also

S14={(1),(2),... (12),(13),.... (123)(124),... (123...14)}

Meine erste Frage ist jetzt wie dieses Sigma genau aussieht? Ist das quasi nur eine Klammer aus dieser Menge? also z.B (1234).
Und wie kann sowas dann Ordnung 22 haben? Soweit ich weiß ist die Ordnung dieser Zykel einfach die Anzahl der Zahlen dadrin, also (a1, ... ak) hat die Ordnung k. 
Und ich weiß auch leider gerade noch nicht, wie man diese Zykel Zerlegt.
Kann mir da jemand weiter helfen?

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Student, Punkte: 95

 
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1.) Sigma ist eine Permutation der Buchstaben 1 bis 24. Leider ist \(S_{14}\) nicht zyklisch (nicht einmal auflösbar!) und es ist Sigma nur ein Produkt von solchen Zyklen (Klammern).

2.) 22=2*11 ist ein Teiler von 14!=2*...*11*... also kann es schon Ordnung 22 haben. Ich glaube dein Denkfehler ist, dass du glaubst Sigma ist zyklisch. Wenn du Sigma aber i  diskutieren Zykel zerlegst,  Ordnung von Sigma ist dann kgV von Ordnung aller Zykel

3.) Was habt ihr zu Zykelzerlegung denn alles in VL gemacht? Einfachste Fall ist Transpositionen
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Student, Punkte: 10.33K

 

vielen Dank schonmal. Das beantwortet zwar meine Fragen, aber so richtig verstanden habe ich das alles glaube ich noch nicht,
Also Sigma ist ein Produkt mehrerer solcher Zykel. Die Zykel sind aber dann diese Klammern, wie z.B (1234) oder?
Also die Ordnung der Zykel ist dann die Länge dieser (also bei (1234) 4 und die Ordnung von sigma dann kgV all dieser Zykel in die ich sigma zerlegen kann?
Wir haben Transpositionen schon gemacht und wir haben Bewiesen, dass jede Permutation ein Produkt von disjunkten Zykeln ist. In dem Beweis geht es dann auch um die Zerlegung, aber das hilft mir irgendwie noch nicht wirklich, weil der beweis sehr abstrakt ist.
  ─   joline 12.11.2022 um 15:31

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Permutation lese mal Zykelzerlegungen   ─   mathejean 12.11.2022 um 15:58

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