Charakteristische Funktionen

Aufrufe: 158     Aktiv: 15.03.2024 um 22:36

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Bei der Betrachtung von Charakteristischen Funktionen:
(Formel 1)

bin ich auf follgendes Problem gestoßen:
(Formel 2)


Ich habe mir das ganze so vorgestellt:
"Menge der Funktionen von A nach {0,1}" bedeutet:
"Menge aller möglichen unterschiedlichen Funktionen von A nach {0,1}"
Daher: z.B.:
Sei A={B,C} dann ist P(A):={{},{B},{C},{B,C}}
sommit gibt es vollgende Funktionen:
f:{B}->{0,1}
g:{C}->{0,1}
h:{B,C}->{0,1}
Frage 1: ist diese Gedankliche Veranschauung korrekt?
Allso: X:{{A},{B},{A,B}} -> {f,g,h}

Frage 2: kann man die Schreibweise 2^A für P(A) als echte Potenz auffassen? (oder ist dass einfach nur eine definierte Schreibweise...)
also: mit: 2 weil |{0,1}|=2... und |A|=2
-> 2^2=4 da müsste dann i:{}->{0,1} (dann wohl eher: i:{}->1 oder i:{}->0) existieren um eine 4. Funktion zu geben...
(ist eine Funktion ohne Parameter in diesem Kontext erlaubt - also eine Art Konstante?)

Für den Beweis der Bijektivität von Formel 2 steht in meinem Skript:


Frage 3:
zu injektivität.: so weit so gut (=verständlich :) )
Jedoch: darf ich hier einfach XB(x)=... verwenden? (bin ich nicht limitiert auf reines X... ?)
- müsste man hier nicht erst X(B):=XB definieren?
oder ist dieser Teil in Formel 2 eine (reine) (Schreibweisen)-Definition, welche ich nicht beweisen muss?
(würde auch den letzten Teil bei surjektivität erklären: X(B)=XB=f)

zu surjektivität:
Aus meiner Sicht ist das ein Beweis für surjektivität von Formel 1 und nicht Formel 2...
Außer (aus meiner Sicht); wenn mann: dass ganze für jede Teilmenge von A durchführt...
Allso mit Anlehung an voriges Beispiel: für f,g,h (i?)
-> kann mann das so sagen?

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Zu Frage 1:
Die Schreibweise "f:{B}->{0,1}" gibt keinen Sinn, hier werden zwei Schreibweisen gemischt. Es gibt zwei Schreibweisen (aus der Schule bekannt): $f:D\rightarrow W$ (Angabe von Definitions/Wertebereich) und $f:x\mapsto y$ (d.h. $f(x)=y$, das ist die Angabe eines Funktionswert).
Wenn $A=\{1,2,3\}$ ist, dann gibt man Elemente von  $\{0,1\}^A$ am einfachsten (auch wie in der Schule) mit einer Wertetabelle an. Dann sieht man sofort, dass $\{0,1\}^A$ 8 Elemente hat, d.h. es gibt 8 Funktionen (natürlich verschiedene, sonst wären Abzählungen von Elementen ja sinnlos).
Damit klärt sich möglicherweise auch Frage 2.
Die Schreibweise sollte Dir auch bekannt vorkommen: So ist ja z.B. $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Eine Folge ist ja auch nur eine Abbildung mit Definitionsbereich $\mathbb{N}$ (die man üblicherweise nicht mit einer Wertetabelle angibt).
Frage 3: Achte genau auf jedes Zeichen und jedes Objekt. Mach Dir stets klar, ob Du von Funktion oder Funktionswert redest.
Man zeigt auch nicht "Injektivität einer Formel", sondern einer Funktion. In diesem Fall ist die Funktion in "Formel 2" definiert - was man am "$:=$" erkennt (andere Bedeutung als "$=$").
Die Surjektivität wird hier immer nachgewiesen: Für $u:D\rightarrow W$: Sei $y\in W$, zu zeigen: es gibt ein $x\in D$ mit $u(x)=y$.
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Ich tu mir noch mit der Definition: "Menge der Funktionen von A nach {0,1}" schwer...
Müsste nach dieser Definition nicht {0,1}^A eine Menge aus Funktionen sein? z.B. {...,f1(x):=1 für x in a, 0 für x in b, ...} mit A={a,b}
(allso sowas wie: {Xa,Xb,Xab,X{}})

Müsste man, wenn man die Beweise eher "traditionell" führt, dass nicht so machen?:
inj:
x1 in P(A), x2 in P(A)
z.z.: f(x1)=f(x2) => x1=x2
allso: X(x1)=X(x2)=* Xa
(*)ich habe hier Xa exemplarisch gewählt
sommit muss (nach Definition) x1=a=x2

surj:
für X:P(A)->{0,1}^A z.z.: "es gibt ein x in P(A) womit X ausgewertet werden kann... "
sei: b:={x in P(A) mit X(x):=Xb}
~> da aus meiner sicht das y nicht 0 oder 1 sondern wie oben angemerkt aus meiner Sicht eine Funktion ist...
  ─   mipps 15.03.2024 um 05:20

Nochmal: achte auf jedes Detail: "f1(x):=1 für x in a, 0 für x in b, ... mit A={a,b}": Nein: f1(a)=1, f1(b)=0 wäre richtig. Nichts mit "in".
injektiv: "inj: x1 in P(A), x2 in P(A). z.z.: f(x1)=f(x2) => x1=x2".
Genau das wird ja gemacht: Da steht ja, seien $B, C\in {\cal P}(A)$ mit $B\neq C$, also insb. $B\neq\subseteq C$. Das ist Dein x1,x2.
surjektiv: "z.z.: "es gibt ein x in P(A) womit X ausgewertet werden kann... " Verstehe ich nicht. Auch das wird "traditionell" gemacht, wie ich oben in meiner Antwort erklärt habe: Sei $f\in \{0,1\}^A$. Z.z.: Es gibt ein $B\subseteq A$ mit $\chi(B)=f$. Und dann wird das $B$ definiert.
  ─   mikn 15.03.2024 um 22:35

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