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Hallo,
ich würde sagen das überlegen wir uns mal zusammen ;)
Eine Funktion ist Laplace-transformierbar, wenn das Integral
$$ F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
existiert.
Wenn nun \( f(t) \) und \( g(t) \) Laplace-transformierbar sind, dann existieren beide Integrale
Nun nehmen wir einmal die Summe
$$ f(t) + g(t) $$
Dann sind diese Laplace-transformierbar, wenn
$$ F(s) + G(s) ={\mathcal {L}}\left\{f+g\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
existiert. Wie können wir nun zeigen, das dieses Integral existieren muss?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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ja ist die Summe. Aber die Begründung müssen wir noch etwas allgemeiner fassen.
Als Tipp: Der Beweis folgt aus einer Eigenschaft des Integrals und das wir wissen, das die Integral
$$ F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
und
$$ G(s)={\mathcal {L}}\left\{g\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
existieren. ─ christian_strack 13.02.2020 um 11:34
Als Tipp: Der Beweis folgt aus einer Eigenschaft des Integrals und das wir wissen, das die Integral
$$ F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
und
$$ G(s)={\mathcal {L}}\left\{g\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
existieren. ─ christian_strack 13.02.2020 um 11:34
Wäre es möglich für unendlich erstmal eine Variable z.B. t einzusetzen. Das Integral ausrechnen und anschließend den lim ->t gegen unendlich laufen zu lassen.
─
willibeckersulzheim
13.02.2020 um 12:31
brauchst du gar nicht. Wir nutzen einfach die Linearität des Integrals
$$ \begin{array}{ccc} {\mathcal {L}}\left\{f+g\right\}(s) & = & \int _{0}^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st} + g(t) e^{-st} \,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t + \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \mathcal{L}\left\{ f \right\} (s) + \mathcal{L}\left\{ g \right\} (s) \end{array} $$
Da die beiden Funktionen selbst Laplace transformierbar sind, müssen beide Integrale exisiteren und somit auch die Summe. ─ christian_strack 13.02.2020 um 13:22
$$ \begin{array}{ccc} {\mathcal {L}}\left\{f+g\right\}(s) & = & \int _{0}^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st} + g(t) e^{-st} \,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t + \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \mathcal{L}\left\{ f \right\} (s) + \mathcal{L}\left\{ g \right\} (s) \end{array} $$
Da die beiden Funktionen selbst Laplace transformierbar sind, müssen beide Integrale exisiteren und somit auch die Summe. ─ christian_strack 13.02.2020 um 13:22
oke super danke dir. Ich versteh das jetzt wirklich. Nur mathematisch korrekt ausdrücken konnte ich es nicht.
DANKE! ─ willibeckersulzheim 13.02.2020 um 13:28
DANKE! ─ willibeckersulzheim 13.02.2020 um 13:28
Man ist schnell verleitet zu weit zu denken. Hier ist es tatsächlich relativ einfach :)
Sehr gerne. ─ christian_strack 13.02.2020 um 13:54
Sehr gerne. ─ christian_strack 13.02.2020 um 13:54
Ich tendiere ganz stark dazu, dass die Summe aus zwei Laplace transformierten immer Laplace transformierbar sind. Da es eine Summe ist und daher unabhängig voneinander transformiert werden.
Zu deiner frage: ich würde einfach mal was für f(t) und g(t) und einsetzen und ausprobieren. Wenn Diese integrierbar sind müssten sie auch als Produkt mit exp(-st) integrierbar sein und somit und Laplace transformierbar.
─ willibeckersulzheim 13.02.2020 um 11:21