Hi,
Wenn bei zwei Zahlen m und n der ggT 1 sein soll, bedeutet dies, dass hier Primzahlen vorliegen müssen. Bzw mindestens eine davon ist eine Primzahl, aber dann darf die andere kein Vielfaches von ihr sein. So gilt: ggT(n,m)=1.
Dass der ggT((2^n)-1,(2^m)-1) = 1 ist passt dementsprechend auch, da es sich bei der Form 2^n-1 um eine sog. Mersenne-Zahl handelt, diese kann nur eine Primzahl sein, wenn n selbst eine ist. Da der ggT 1 sein soll, ist dies der Fall.
Hoffe ich konnte helfen!
LG

Für die Hinrichtung zeigen wir die Kontraposition:
Angenommen, es gilt \( g := ggT(n,m) \neq 1 \). Dann ist \( 2^g-1 \) offensichtlich größer als \( 1 \) und außerdem ein Teiler von \( 2^n-1 \) und \( 2^m-1 \), denn man kann schreiben \( n=gu \) und \( m=gv \) für positive ganze Zahlen \( u \) und \( v \) und erhält dann durch die Formel für die geometrische Summe, dass die Ausdrücke \( \frac{2^n-1}{2^g-1} = \frac{(2^g)^u-1}{2^g-1} \) und \( \frac{2^m-1}{2^g-1} = \frac{(2^g)^v-1}{2^g-1} \) ganze Zahlen sind. Damit folgt dann aber sofort \( ggT(2^n-1,2^m-1) \neq 1 \).

Nun zeigen wir die Rückrichtung:
Angenommen, es gilt \( ggT(n,m)=1 \). Dann findet man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei (oBdA) positive ganze Zahlen \( a \) und \( b \), sodass \( an-bm=1 \) ist.
Per Definition teilt nun \( ggT(2^n-1,2^m-1) \) die beiden Zahlen \( 2^n-1 \) und \(2^m-1\) und somit auch die folgende Linearkombination dieser Zahlen:
\( \frac{(2^n)^a-1}{2^n-1}(2^n-1) - \frac{(2^m)^b-1}{2^{m}-1} (2^m-1) = 2^{an} - 2^{bm} = 2^{bm} ( 2^{an-bm}-1) = 2^{bm} ( 2^1 - 1) = 2^{bm} \)
(Beachte hierbei, dass \( \frac{(2^n)^a-1}{2^n-1} \) und \( \frac{(2^m)^b-1}{2^{m}-1} \) ganze Zahlen sind. Vergleiche hierzu die Formel für die geometrische Summe.)
Da \( ggT(2^n-1,2^m-1) \) aber keine gerade Zahl sein kann (denn er teilt die ungerade Zahl \( 2^n-1 \)), folgt somit \( ggT(2^n-1,2^m-1)=1 \).