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Hallo zusammen. Meine Frage geht um Landau Notation. Kann bitte jemand helfen?

EDIT vom 11.07.2022 um 19:41:

ist es bisher richtig??

EDIT vom 11.07.2022 um 20:25:

von welcher Seite soll ich Grenzwerte berechnen??

EDIT vom 11.07.2022 um 20:27:

von welcher Seite soll ich Grenzwerte berechnen??

EDIT vom 11.07.2022 um 22:14:

soll ich die Grenzwerte mit dem Formel 1/(1+q) berechnen? dafür muss ich hier für die Reihe eine Summand mit einem Formel finden?

EDIT vom 11.07.2022 um 22:38:

und f(h)=o(h^2)
Richtig??
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$f(h) = o(h^p) \iff \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(h)}{h^p} =0$.
Diesen Grenzwert muss man halt überprüfen für versch. $p$. Das geht relativ einfach mit l'Hospital.
Fang an mit $p=1,2,3,...$. Dann stellst Du fest, für $p=1,2$ ist es erfüllt, für $p=3$ nicht. Also $f(h)=o(h^2)$.
Man kann das auch direkt durchrechnen mit der Taylorreihe (die TR von $\sin$ in $f(h)$ einsetzen).
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Hallo mit Taylor wäre: f'(h)=cos(h)-1 f'(0)=0
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(0)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(0)=0
aber ich verstehe nicht, wie kann ich von Taylorreihe resultieren, dass f(h)=o(h^2)???!!!
  ─   usere9c978 10.07.2022 um 18:13

Schreib die TR von f(h) mal hin, die ersten Summanden. Dann prüfe den Quotienten mit $h^p$ im Nenner.   ─   mikn 10.07.2022 um 18:19

Ist die Taylorreihe im letzten Kommentar von mir falsch? sie hat keinen Nenner!!!   ─   usere9c978 10.07.2022 um 18:27

In Deinem letzten Kommentar stehen ein paar Werte, aber keine Reihe. Und ich sagte, danach TR/h^p, siehe meine Antwort oben (Def. von o(h^p)).   ─   mikn 10.07.2022 um 18:36

Schau in Deinen Unterlagen nach, was die Taylorreihe ist.
Für ein Vorgehen ohne Taylorreihe siehe meine Antwort oben (Grenzwerte, mit l'Hospital).
  ─   mikn 10.07.2022 um 18:44

Hallo nochmal, könnten Sie bitte nochmal kontrolieren, ob es richtig ist??
Taylorreihe:
f(x)=sin(h)-h h0=0 f(0)=0
f'(x)=cos(h)-1 f'(0)=0
f''(x)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(x)=-cos(h) f'''(0)=-1

f(x)=0+0+0-(1/3!)(h-0)^3=h^3/6

und jetzt [(h^3)/6]/h^p in diesem Fall gilt: für p=1 und 2 geht es schon, aber wenn p gleich 3 wird, geht es nicht, da h^3 ist.
richtig??
  ─   usere9c978 10.07.2022 um 19:54

Von der Idee hast Du's nun. Bei der Ausführung sind noch kleine Mängel. Es gibt ein Durcheinander mit x und h, bitte einheitlich. Und in der letzten Zeile ist nicht f(h)=...., sondern die Summe geht hinter dem h^3 noch weiter (TaylorREIHE, nicht Taylorsumme). Der fehlende Rest ist aber O(h^4), geht also bei Division durch h^3 gegen 0.
Am einfachsten erhält man die TR von f, wenn man die von sin nimmt und dann h subtrahiert. Dann muss man auch keine einzelnen Ableitungen ausrechnen.
Der entscheidende Punkt ist, dass das -h den h^1-Term in der TR von sin abfängt und der nächste stehenbleibende der h^3-Term ist (einen h^0-Term gibt es ja auch nicht).
  ─   mikn 10.07.2022 um 23:11

Hallo nochmal, könnten Sie bitte nochmal kontrolieren, ob es richtig ist??
Taylorreihe:
f(x)=sin(h)-h h0=0 f(0)=0
f'(x)=cos(h)-1 f'(0)=0
f''(x)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(x)=-cos(h) f'''(0)=-1

f(x)=0+0+0-(1/3!)(h-0)^3=∑[(h^3)/6]

und jetzt ∑[(h^3)/6]/h^p in diesem Fall gilt: für p=1 und 2 geht es schon, aber wenn p gleich 3 wird, geht es nicht, da h^3 ist.
bis hier richtig??
Ich verstehe den Satz aber nicht: [Der fehlende Rest ist aber O(h^4), geht also bei Division durch h^3 gegen 0. ]
oder muss man so schreiben:
f(h)=sin(h) h-->0 f(0)=0
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f(h)=∑[0+h+0-(h^3)/6]=∑[-(h^3)/6+h]-h (dieses h kommt aus der Anleitenden Nachricht) =∑[-(h^3)/6]

∑[-(h^3)/6]/(h^p) für p=1 und 2 gilt ,aber für p=3 gilt nicht
richtig??
  ─   usere9c978 11.07.2022 um 15:55

Kennst Du das Summenzeichen überhaupt? Hast Du die Def. der TR nachgeschlagen?
Ich hatte vorher schon gesagt, in der letzten Zeile ist es f(h)=.... (sorry, es ist nervig, alles mehrmals zu sagen). Das mit dem Rest hab ich auch schon erklärt, die Summe geht noch weiter.... daher gibt es da noch einen Rest.
Schlag endlich den Satz von Taylor nach.
Überleg Dir, was das Summenzeichen bedeutet. Und was soll $\sum ....$ für p=1 gilt bedeuten? Ein Term hat keinen Wahrheitsgehalt.
Fang an die Dinge sorgfältig aufzuschreiben. Durch Deine unsauberen Schreibweisen geht es nicht schneller, sondern dauert alles viel länger.
  ─   mikn 11.07.2022 um 16:01

f(h)=sin(h) h-->0 f(0)=0
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(h)=0
f'''''(h)=-cos(h) f'''''(h)=-1
.
.
.

f(h)=0+h+0-(h^3)/3!+0-(h^5/5!)-h=-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....=∑ jetzt muss ich hier einen Formel gegen Summand herausfinden und dann den Formel durch h^p dividieren??
  ─   usere9c978 11.07.2022 um 16:34

"Eine Formel gegen Summand"??? Du hast f(h)=.... (vergiss die Pünktchen nicht, niemals!) und der Rest steht ganz oben in meiner Antwort in der ersten Zeile.   ─   mikn 11.07.2022 um 16:40

f(h)=sin(h) h-->0 f(0)=0
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(h)=0
f'''''(h)=-cos(h) f'''''(h)=-1
.
.
.

f(h)=0+h+0-(h^3)/3!+0-(h^5/5!)-h=-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....

f(h)/(h^p)=[-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....]/(h^p) hier mit p=1 und 2 schädigen wir die Reihe nicht aber mit einem p=3 löschen wir den ersten Satz??
Deswegen höchstens p=2 wäre die Antwort für Funktion O(h^p)??
  ─   usere9c978 11.07.2022 um 16:51

Ich verstehe nicht, was Du mit "schädigen" und "löschen" meinst. Rechne die Grenzwerte getrennt für p=1 und p=2 aus, und SCHREIBE SIE SAUBER HIN.   ─   mikn 11.07.2022 um 16:53

Ich habe eine Email von Ihnen gefunden, kann ich Sie da mein sauberes Schreiben auf Word schicken?
Ich weiss es nicht, wie kann ich Mathe hier schön schreiben, entschuldigung
  ─   usere9c978 11.07.2022 um 18:54

Schreib es sauber und ordentlich von Hand auf und lade es dann hier als Foto hoch (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 11.07.2022 um 19:10

habe schon. Ist das richtig?? wenn ja, wie es für p = 1 und 2 geht aber 3 nicht??   ─   usere9c978 11.07.2022 um 19:42

f(h) ist nicht sin(h). Du kannst gerne sin als neue Funktion einführen, aber dann mit einer neuen Bezeichnung. Prüfe die letzten beiden Zeilen nochmal. cut-and-paste ist gut, aber nur wenn man nochmal überprüft.
"es geht für... und für ... nicht" ist keine Antwort. Rechne die Grenzwerte aus und schreib sie hin.
  ─   mikn 11.07.2022 um 19:54

Können Sie bitte den dritten Bild kurz schauen??   ─   usere9c978 11.07.2022 um 20:28

Bitte korrigiere doch alle Fehler, die ich Dir nenne. ("Prüfe....")
Der Grenzwert, der zu berechnen ist, steht in der 1. Zeile meiner Antwort ganz oben.
Dieser Dialog zieht sich hier soooo lange hin, weil ich alles mehrmals sagen muss. EINMAL sorgfältig und Du wärst längst fertig mit der Aufgabe,
  ─   mikn 11.07.2022 um 20:33

Ich verstehe wirklich nicht wie soll ich die letzte Zeilen prüfen?
geht es mit p=3 nicht, weil -1/3! keinen h mehr hat??
Könnten Sie bitte den letzten Teil der Lösung schreiben bitte??
  ─   usere9c978 11.07.2022 um 20:56

Nein. Du liest einfach mal das, was Du geschrieben hast, die ganze Zeile. Und korrigierst. Und dann (zum 3. Mal) schreib die von Dir berechneten Grenzwerte sauber auf. Lies es nochmal in Ruhe BEVOR Du es postest. DANACH helfe ich Dir gerne weiter.   ─   mikn 11.07.2022 um 21:30

Nachdem ich es dreimal gesagt habe, hast Du jetzt den Fehler korrigiert. Dass Du die Grenzwerte ausrechnen sollst und HINSCHREIBEN; hab ich mindestens so oft gesagt. Man braucht keine besonderen Formeln, fang endlich einfach an: $\lim.... =... = ..:$.   ─   mikn 11.07.2022 um 22:18

Ja, jetzt stimmt es. Generell muss man aber mit p=0 anfangen (ist hier egal, ich sage das wg Deiner anderen Frage).   ─   mikn 11.07.2022 um 22:45

vielen lieben Dank. wirklich geduldig und hilfreich   ─   usere9c978 11.07.2022 um 22:45

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