Diesen Grenzwert muss man halt überprüfen für versch. $p$. Das geht relativ einfach mit l'Hospital.
Fang an mit $p=1,2,3,...$. Dann stellst Du fest, für $p=1,2$ ist es erfüllt, für $p=3$ nicht. Also $f(h)=o(h^2)$.
Man kann das auch direkt durchrechnen mit der Taylorreihe (die TR von $\sin$ in $f(h)$ einsetzen).
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Für ein Vorgehen ohne Taylorreihe siehe meine Antwort oben (Grenzwerte, mit l'Hospital). ─ mikn 10.07.2022 um 18:44
Taylorreihe:
f(x)=sin(h)-h h0=0 f(0)=0
f'(x)=cos(h)-1 f'(0)=0
f''(x)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(x)=-cos(h) f'''(0)=-1
f(x)=0+0+0-(1/3!)(h-0)^3=h^3/6
und jetzt [(h^3)/6]/h^p in diesem Fall gilt: für p=1 und 2 geht es schon, aber wenn p gleich 3 wird, geht es nicht, da h^3 ist.
richtig?? ─ usere9c978 10.07.2022 um 19:54
Am einfachsten erhält man die TR von f, wenn man die von sin nimmt und dann h subtrahiert. Dann muss man auch keine einzelnen Ableitungen ausrechnen.
Der entscheidende Punkt ist, dass das -h den h^1-Term in der TR von sin abfängt und der nächste stehenbleibende der h^3-Term ist (einen h^0-Term gibt es ja auch nicht). ─ mikn 10.07.2022 um 23:11
Taylorreihe:
f(x)=sin(h)-h h0=0 f(0)=0
f'(x)=cos(h)-1 f'(0)=0
f''(x)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(x)=-cos(h) f'''(0)=-1
f(x)=0+0+0-(1/3!)(h-0)^3=∑[(h^3)/6]
und jetzt ∑[(h^3)/6]/h^p in diesem Fall gilt: für p=1 und 2 geht es schon, aber wenn p gleich 3 wird, geht es nicht, da h^3 ist.
bis hier richtig??
Ich verstehe den Satz aber nicht: [Der fehlende Rest ist aber O(h^4), geht also bei Division durch h^3 gegen 0. ]
oder muss man so schreiben:
f(h)=sin(h) h-->0 f(0)=0
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f(h)=∑[0+h+0-(h^3)/6]=∑[-(h^3)/6+h]-h (dieses h kommt aus der Anleitenden Nachricht) =∑[-(h^3)/6]
∑[-(h^3)/6]/(h^p) für p=1 und 2 gilt ,aber für p=3 gilt nicht
richtig??
─ usere9c978 11.07.2022 um 15:55
Ich hatte vorher schon gesagt, in der letzten Zeile ist es f(h)=.... (sorry, es ist nervig, alles mehrmals zu sagen). Das mit dem Rest hab ich auch schon erklärt, die Summe geht noch weiter.... daher gibt es da noch einen Rest.
Schlag endlich den Satz von Taylor nach.
Überleg Dir, was das Summenzeichen bedeutet. Und was soll $\sum ....$ für p=1 gilt bedeuten? Ein Term hat keinen Wahrheitsgehalt.
Fang an die Dinge sorgfältig aufzuschreiben. Durch Deine unsauberen Schreibweisen geht es nicht schneller, sondern dauert alles viel länger. ─ mikn 11.07.2022 um 16:01
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(h)=0
f'''''(h)=-cos(h) f'''''(h)=-1
.
.
.
f(h)=0+h+0-(h^3)/3!+0-(h^5/5!)-h=-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....=∑ jetzt muss ich hier einen Formel gegen Summand herausfinden und dann den Formel durch h^p dividieren?? ─ usere9c978 11.07.2022 um 16:34
f'(h)=cos(h) f'(0)=1
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(h)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(h)=0
f'''''(h)=-cos(h) f'''''(h)=-1
.
.
.
f(h)=0+h+0-(h^3)/3!+0-(h^5/5!)-h=-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....
f(h)/(h^p)=[-(h^3)/3!-(h^5/5!)-....]/(h^p) hier mit p=1 und 2 schädigen wir die Reihe nicht aber mit einem p=3 löschen wir den ersten Satz??
Deswegen höchstens p=2 wäre die Antwort für Funktion O(h^p)?? ─ usere9c978 11.07.2022 um 16:51
Ich weiss es nicht, wie kann ich Mathe hier schön schreiben, entschuldigung ─ usere9c978 11.07.2022 um 18:54
"es geht für... und für ... nicht" ist keine Antwort. Rechne die Grenzwerte aus und schreib sie hin. ─ mikn 11.07.2022 um 19:54
Der Grenzwert, der zu berechnen ist, steht in der 1. Zeile meiner Antwort ganz oben.
Dieser Dialog zieht sich hier soooo lange hin, weil ich alles mehrmals sagen muss. EINMAL sorgfältig und Du wärst längst fertig mit der Aufgabe,
─ mikn 11.07.2022 um 20:33
geht es mit p=3 nicht, weil -1/3! keinen h mehr hat??
Könnten Sie bitte den letzten Teil der Lösung schreiben bitte?? ─ usere9c978 11.07.2022 um 20:56
f''(h)=-sin(h) f''(0)=0
f'''(h)=-cos(h) f'''(0)=-1
f''''(h)=sin(h) f''''(0)=0
aber ich verstehe nicht, wie kann ich von Taylorreihe resultieren, dass f(h)=o(h^2)???!!! ─ usere9c978 10.07.2022 um 18:13