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Es sei f : R → R eine Funktion.

Zeigen Sie für jedes ε > 0 und jedes x ∈ R, dass {y ∈ R | |y − f (x)| ≥ ε} abgeschlossen ist.

Ansatz:

Sei epsilon größer 0 und x element R.

Abgeschlossen heißt falls für jede konvergente Folge (xn)n∈N ⊆ M auch lim n→∞ xn ∈ M .

WIe verbinde ich das jetzt in die Aufgabe?
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gefragt

Student, Punkte: 48

 

Ich würde mit einer hier wesentlichen günstigeren Definition der Abgeschlossenheit arbeiten: Eine Menge \(A\subset X\) ist genau dann abgeschlossen, wenn \(X\setminus A\) offen ist.   ─   fix 05.12.2022 um 22:08

ja stimmt das ist eine viel angenehmere defintion
  ─   ramy69 05.12.2022 um 22:22
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1 Antwort
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Bringe erstmal Ordnung rein. "abgeschlossen heißt" gibt es nicht, es gibt "eine Menge M heißt abgeschlossen". Benenne dann Dein M.
Ein Beweis für Aussagen der Form "für alle.... gilt..." beginnt immer mit "Sei .....
Das geht alles ohne dass man irgendwas verstanden haben.
Betrachte M und wähle eine passende Bezeichnung für die Folge, lege also los mit "Sei (passende Bezeichnung)....".
Bis hierhin ohne jedes Verstehen möglich. Mach erstmal soweit und lade hoch. Achte auf die Details.
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Sei Epsilon größer 0. Sei x element R. Sei xn eine konvergente Folge eine Teilmenge von M, sodass der Grenzwert von xn für n gegen unendlich element von M ist. M ist die angegebene Menge oben {y ∈ R | |y − f (x)| ≥ ε}
  ─   ramy69 05.12.2022 um 22:15

M heißt abgeschlossen falls für jede (in X) konvergente Folge (xn)n∈N ⊆ M auch lim n→∞ xn ∈ M.

M ist {y ∈ R | |y − f (x)| ≥ ε}
Sei xn eine konvergente Folge von f(x)
  ─   ramy69 05.12.2022 um 22:30

Wie soll ich denn die Folge passend bezeichnen? Bevor wir hier ewig hin und her schreiben. Ich komme nicht drauf. Auch was außer " Sei E größer 0 und x element R" und das M = {y ∈ R | |y − f (x)| ≥ ε} ist fällt mir nichts ein. Ich habe noch die abgeschlossenheit der Menge drin. Ich darf damit doch aber noch nicht handtieren, weil ich
das zeigen soll
  ─   ramy69 05.12.2022 um 22:58

Vor.: Epsilon größer 0 und x element R. Es gibt eine Folge yn die Teilmenge von M ist. M = {y ∈ R | |y − f (x)| ≥ ε}. yn hat einen grenzwert, sodass dieser element von M ist

Beh.: M sei dann abgeschlossen

Ja verstehe ich. Nur manchmal sind doch ein zwei Tipps förderlich, bevor man ewig nach der Nadel im Heuhaufen sucht.
  ─   ramy69 05.12.2022 um 23:09

Also entweder mein Prof zieht die beweise scheisse auf oder ich sehe den wald vor lauter bäumen nicht.
Ja das mag sein. Ich schaue immer wieder hoch in ihre erste Nachricht, lese und denke, was habe ich falsch gemacht.

Ich würde lügen, wenn ich sagen würde, ich könnte etwas anderes schreiben, als das vorherige
  ─   ramy69 05.12.2022 um 23:33

Ja mache ich. Das war eine sehr hilfreiche Nachricht auf alle Fälle im ganz allgemeinen.
  ─   ramy69 06.12.2022 um 15:40

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