Zahlentheorie

Erste Frage Aufrufe: 169     Aktiv: 07.08.2021 um 17:19

0
Hallo,
ich habe neulich in meinen Unterlagen eine Aufgabe aus dem Bereich der Zahlentheorie gefunden, wo die herkommt weiß ich aber nicht :/. Über Hilfe würde ich mich freuen. LG
Finden Sie alle positiven, ganzen Zahlen x,y,z, sodass \((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=2\)
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1
Moin,
Hier bietet es sich besonders an, Grenzen für die Variablen zu bestimmen... wenn du damit nicht weiterkommst, könnte ich auch eine vollständige Lösung posten...
LG
Diese Antwort melden
geantwortet

Schüler, Punkte: 935

 

ich hab x, y und z jetzt geordnet, aber wie kriege ich nun meine Werte heraus? Ich hab versucht es auf eine Diophantine Gleichung herunterzubrechen, bin da aber nicht weitergekommen. Vielleicht kann jemand mir die gesamte Lösung, oder zumindest einen weiteren Tipp geben?
Danke schon mal im vorraus:)
  ─   user9056bc 06.08.2021 um 12:35

Kommentar schreiben

0
Ich schreibe einfach eine zweite Antwort, damit das in den Kommentaren nicht so klein wird:
sortiere x,y und z; \(1 <x\le y \le z \Rightarrow \frac{1}{x}\ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}\). Wenn \(x \ge 4\), wir die linke Seite immer kleiner als 2 sein. 1.Fall: x=2 ergibt sich \((1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=\frac{4}{3}\). Erneut, wenn \(y\ge 7\) ist die linke Seite kleiner \(\frac{4}{3}\). Erneute Fallunterscheidung: \(y=6 \Rightarrow z=7 | y=5 \Rightarrow z=9 | y=4 \Rightarrow z=15\). 2.Fall: x=3, es folgt \((1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\). Wenn \(y\ge 5\) ist die linke Seite kleiner als \(\frac{3}{2}\): \(y=4 \Rightarrow z=5\).
Daraus ergeben sich folgende Lösungspaare (die du natürlich noch je tauschen musst): \((x,y,z)=(2,6,7),(2,5,9),(2,4,15),(3,4,5)\)
LG
Diese Antwort melden
geantwortet

Schüler, Punkte: 935

 

\((3,3,8)\) ist auch eine Lösung   ─   wrglprmft 07.08.2021 um 11:15

stimmt, hab ich verpasst :/   ─   fix 07.08.2021 um 16:05

Kommentar schreiben