Moin,
Hier bietet es sich besonders an, Grenzen für die Variablen zu bestimmen... wenn du damit nicht weiterkommst, könnte ich auch eine vollständige Lösung posten...
LG

Ich schreibe einfach eine zweite Antwort, damit das in den Kommentaren nicht so klein wird:
sortiere x,y und z; \(1 <x\le y \le z \Rightarrow \frac{1}{x}\ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}\). Wenn \(x \ge 4\), wir die linke Seite immer kleiner als 2 sein. 1.Fall: x=2 ergibt sich \((1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=\frac{4}{3}\). Erneut, wenn \(y\ge 7\) ist die linke Seite kleiner \(\frac{4}{3}\). Erneute Fallunterscheidung: \(y=6 \Rightarrow z=7 | y=5 \Rightarrow z=9 | y=4 \Rightarrow z=15\). 2.Fall: x=3, es folgt \((1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\). Wenn \(y\ge 5\) ist die linke Seite kleiner als \(\frac{3}{2}\): \(y=4 \Rightarrow z=5\).
Daraus ergeben sich folgende Lösungspaare (die du natürlich noch je tauschen musst): \((x,y,z)=(2,6,7),(2,5,9),(2,4,15),(3,4,5)\)
LG