Vektordarstellung

Erste Frage Aufrufe: 371     Aktiv: 19.02.2023 um 19:33

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meine Aufgabe lautet :

Gegeben sind die Punkte P1(1/1/1) und P2(3/2/0).

a) Bestimmen Sie die Vektorform derjenigen Ebene, auf der diese beiden Punkte liegen! Ein Richtungsvektor soll aus dem Kreuzprodukt der Ortsvektoren der Punkte P1 und P2 berechnet werden.

b) Berechnen Sie die Hesse’sche Normalform der oben berechneten Ebene! 

ich habe die Ggleischung der Ebene bestimmt : 
E : x = (1 1 1)  + Y( 2 3 -1) 

aber ich weiss nicht wie soll ich die Hesse’sche Normalform schreiben , ich habe jetzt so verstanden dass ich dafuer 3 punkte brauche aber ich habe hier nur zwei p1 bzw p2é!!
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Dann nimm doch den Nullpunkt mit dazu.
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ich hab am Ende den Form so geschrieben :
6x + 5y + 3z - 14 = 0
soll das Richtig sein ?
  ─   manel 19.02.2023 um 15:28

dann schau mal, ob die Punkte alle auf der Ebene liegen   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 15:41

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Was du aufgeschrieben hast, ist eine Geradengleichung!, die Parametergleichung einer Ebene enthält ZWEI Richtungsvektoren.

Einer davon soll aus dem Kreuzprodukt gebildet werden, den hast du auch verwendet.

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Kreuzprodukt ist nicht so ganz richtig ausgerechnet   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 15:47

ja ich habe ja schon die Parametergleichung berechnet E : x = (1 1 1) + Y( 2 3 -1)

aber ich will jetzt von dieser Form in der Hesse’sche Normalform der Berechneten Ebene schreiben !! das weiss es nicht wie !

  ─   manel 19.02.2023 um 15:50

das ist keine Ebenengleichung   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 15:53

Das ist aber nicht die Parametergleichung einer Ebene. Das was du unter die obige Antwort kommentiert hast, nennt sich Koordinatengleichung (die ist aber auch falsch)   ─   honda 19.02.2023 um 15:55

das ist Parameterform einer Ebene   ─   manel 19.02.2023 um 15:55

warum denn falsch ?   ─   manel 19.02.2023 um 15:56

das ist auch keine Parameterform einer Ebene   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 15:57

schau mal, was ich als Antwort geschrieben habe und dann vergleiche mit deinen Unterlagen, Parameterform Gerade und Parameterform Ebene   ─   honda 19.02.2023 um 15:59

kannst du Mal biite deine Antwort hier im kommentar nochmal schreiben , ich finde die irgendwie nicht ! danke
  ─   manel 19.02.2023 um 16:08

die steht doch über diesen ganzen Kommentaren, aber ok:
"Was du aufgeschrieben hast, ist eine Geradengleichung!, die Parametergleichung einer Ebene enthält ZWEI Richtungsvektoren.
Einer davon soll aus dem Kreuzprodukt gebildet werden, den hast du auch verwendet. " (kleiner Vorzeichenfehler)
  ─   honda 19.02.2023 um 16:10

danke sehr !!
ja stimmt ich hab die Fehler gefunden : E : x = (1 1 1) + Y( -2 3 -1) so soll es richtig sein , jetzt wie komme ich auf die Hesse’sche Normalform ?
  ─   manel 19.02.2023 um 16:17

das ist immer noch keine Ebenengleichung   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 16:18

nö, du hast einen winzig kleinen Rechenfehler aufgedeckt.
Das Riesenproblem liegt darin, dass du die Gleichung einer GERADEN aufgestellt hast. Bevor hier keine Ebenengleichung steht, brauchst du dich nicht um die Hesseform kümmern. Es steht doch da, wie sich Gerade und Ebene unterscheiden, warum überliest du das andauernd?

Weißt du überhaupt, was ein Richtungsvektor ist und wie er sich von dem Ortsvektor (hier (1/1/1)) unterscheidet?
  ─   honda 19.02.2023 um 16:22

@honda: du musst die ZWEI noch größer schreiben   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 16:24

ich suche keine Ebenengleichung , sondern die Vektorform einer Ebene wo die punkte p1 und P2 liegen . Vektorform einer Ebene besteht aus ein Ortsvektor und eine Richtungsvektor ( die aus dem kreutzprodukt in diesem Fall berechnet wurde )   ─   manel 19.02.2023 um 16:25

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und warum schreibst du dann immer für E die Parameterform einer Geraden hin?   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 16:33

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Was bitte soll denn die gesuchte Vektorgleichung (beginnend mit x(Pfeil)= ...) anders sein als eine Ebenengleichung. Auch die Koordinatenform und die Normalenform sind Ebenengleichungen nur in anderer Darstellung.
Und selbst wenn du meinst, keine Ebenengleichung aufstellen zu müssen, eine GERADENGLEICHUNG sicher auch nicht. Schau doch mal nach, welche Formen ihr dazu gelernt habt (Buch, Unterlagen). Dort sollte dann auch stehen, dass Ortsvektor + RV eine Gerade ergibt und OV+ RV + RV eine Ebene.
Wenn du dir das anschaulich klar machst (Bild gibt es sicher auch im Buch), wirst du die Zusammenhänge besser verstehen.
  ─   honda 19.02.2023 um 16:35

@honda: ja ich weiss wie sich die beiden unterscheiden ; OV ist der Abstand vom der ursprung / RV ist der Abstand zwischen zwei Vektoren ( Spitze Fuss Regel ) !

@scotchwhisky : ja wie schreibt man denn das für E ?
  ─   manel 19.02.2023 um 16:39

\(\vec n (\vec x - \vec a ) =0\) Du hast \( \vec n\) ja schon ausgerechnet. Was \(\vec a \) ist, habe ich dir ganz oben gesagt   ─   scotchwhisky 19.02.2023 um 16:43

falsch ausgedrückt, aber (vermutlich) richtig gemeint.
Dann hast du sicher auch irgendwo Zeichnungen, in denen dargestellt ist, wie man mithilfe dieser Vektoren (OV, RV) aus zwei Punkten eine Gerade und aus drei Punkten eine Ebene bekommt.
Wenn du tatsächlich aufgeschrieben hast E: OV + RV (wie du behauptet hast), dann ist das falsch. Vll. existiert es aber auch nur im Kopf, dann muss das ersetzt werden .
  ─   honda 19.02.2023 um 16:45

@ scotchwhisky, n ist falsch, genau so wie die Idee einfach den Ursprung mit einzubeziehen. Außerdem bist du schon wieder am Ende mit deiner Geduld und willst lösen. Sehr hilfreich!!!   ─   honda 19.02.2023 um 16:48

@honda: OV+ RV + RV eine Ebene , das habe ich verstanden , so haben wir auch im Folien aber , das problem jetzt ist , dass wir in der Aufgabestellung nur zwei Punkte gegeben wurden und davon bekommen einer RV ( Aus dem kreutzprodukt ) , wie komme ich auf den zweiten RV ? soll ich denn P2-P1 nehmen ?   ─   manel 19.02.2023 um 16:49

genau, normalerweise macht man das ja mit 2 RV so, aber da hier ein Punkt fehlt, sollst du stattdessen das Kreuzprodukt der OV verwenden (mal eine Abwechslung in der Aufgabenstellung)   ─   honda 19.02.2023 um 16:53

Abwechslung in der Aufgabenstellung : das könnte aber nicht sein (mal eine Abwechslung in der Aufgabenstellung) , das ist einer Klausuraufgabe !!   ─   manel 19.02.2023 um 17:06

damit zeigt man, dass man verstanden hat und nicht nur immer die gleiche Aufgabenstellung (3 Punkte) auswendig löst.
Hast du jetzt die Gleichung aufgestellt?
Weiter geht es zur Normalenform, dazu brauchst du den Normalenvektor (der steht senkrecht auf beiden RV)
  ─   honda 19.02.2023 um 17:09

ja also ich habe jetzt so berechnet , ein RV wie immer aus der Differenz der beiden Punkte und der zweite RV aus der kreuztprodukt und am Ende hab bekommen :
E: x = (1 1 1) + s ( 2 1 -1) + q ( -2 3 -1 )


dann habe ich den Kreutzprodukt von beiden RV berechnet , damit ich den Normalenvktor bekommen : n = ( 2 4 8 )
dann wie geht es weiter ?
  ─   manel 19.02.2023 um 19:22

eine "normale" Normalenform könntest du damit bereits aufstellen. Hast du dafür die Formel ? (weiter oben in den Kommentaren steht sie auch).

Für die Hesse-Form brauchst du den Normaleneinheitsvektor, d.h. er muss die Länge 1 haben. Dazu muss er durch seine Länge geteilt werden.
Vorher kannst du (2 4 8) (hoffe er stimmt, hab nicht nachgerechnet) durch 2 teilen, davon die Länge (l) nehmen.

Geteilt durch l wird nicht in den Vektor eingearbeitet sondern bleibt davor mit mal 1/l stehen, sonst hast du Wurzeln im Vektor
  ─   honda 19.02.2023 um 19:33

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