Kern einer Funktion

Aufrufe: 860     Aktiv: 24.01.2021 um 09:50
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Es geht darum, den Kern hiervon zu finden.

 

Wenn es eine Matrix ist, finde ich den Kern in Nullkommanichts, doch hier bin ich verwirrt. Der Kern ist ja die Menge der Vektoren, die auf die 0 abgebildet werden. 

Meine erste Frage ist: sind die Vektoren, die eventuell im Kern liegen aus R2 oder aus R3?

Meine zweite Frage ist: wenn ich daraus krampfhaft eine Matrix machen wollte, hätte diese dann die Form:

1  -1  |   0

0   2  |   0

 

? In der Lösung schreiben sie

 

aber das verstehe ich nicht. Wie sieht man das denn? Wieso soll phi von v = 0 sein und wieso gilt das gdw. v = (0,0)?

 

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Student, Punkte: 260

 
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Hallo @akimboslice

Ich hätte das gar nicht so kompliziert gemacht mit einer Matrix, denn mit Vektoren geht es fast ähnlich wie mit Matrizen. Wichtig ist dass du dir bewusst bist, wie man den Kern eine Linearen Abbildung definiert. 

Sei \(f: X->Y\) eine lineare Abbildung so definieren wir den Kern als
\(kern(f)=\{x\in X | f(x)=0\}\).

Gut diese Definition kannst du nun einfach auf dein Beispiel anwenden. Ich habe es dir im Anhnang mal gemacht. Hoffe du verstehst es, sonst melde dich sofort wieder.

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Student, Punkte: 1.95K

 
Das ist eine viel bessere Antwort, als ich es mir erhofft habe. Vielen Dank!
Nochmal zwei Fragen zum Nachhaken:
1. Wenn Rx auf Ry abgebildet wird, sind die Vektoren des Kerns dann immer aus dem Rx oder aus dem Ry?
2. Wieso macht ein nulldimensionaler Kern die Abbildung injektiv? Injektiv bedeutet ja, dass aus dem Bild nichts zweimal getroffen wird. Wo ist da die Verbindung zum Kern? So wie ich das sehe, nimmt jede zusätzliche Dimension des Kerns der Abbildung eine Dimension weg. Hier ist der KErn nulldimensional, also geht keine Dimension verloren, richtig? Aber wie sagt mir das, dass die Abbildung injektiv ist und was ist mit der Surjektivität?   ─   akimboslice 24.01.2021 um 08:03
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Hallo vielen dank das freut mich. Ja genau also wenn du dir die Definition des Kerns anschaust, so merkst du dass dieser alle Vektoren aus dem Definitionsbereich also im deinem Fall \(R^x\) beinhalted. Ah sorry wollte dich nicht verwirren mit der Injektivität, aber ihr werded sicherlich diese Proposition noch durchnehmen, sie ist sehr nützlich um zu zeigen dass eine Lineare Abbildung bijektiv oder ein Morphismus bijektiv ist.   ─   karate 24.01.2021 um 08:33
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Stimmt, im Skript steht genau das, was du sagst.
Nochmals vielen Dank. Das mag übertrieben klingen, aber deine Antwort hat mir echt die Augen geöffnet und ich hab einen neuen Blick auf Aufgaben dieser Art gewonnen.   ─   akimboslice 24.01.2021 um 09:30
Vielleicht noch eine kleine Frage, wenn ich schon so einen Mathe-Fuchs gefunden hab: Im Skript steht, dass die Aussagen
f ist injektiv und
f ist surjektiv
für lineare Abbildungen äquivalent sind. Gehe ich also recht in der Annahme, dass in obiger Aufgabe phi nicht nur injektiv, sondern damit auch direkt surjektiv und damit natürlich bijektiv ist?   ─   akimboslice 24.01.2021 um 09:36
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das freut mich zu hören. so macht Mathe doch spass. hmm gibt es da nicht noch irgend eine Einschränkung? könntest du schnell die Aussage hochladen dann können wir es kurz gemeinsam anschauen, denn ich kenne schon eine Aussage die in diese Richtung geht, aber du hast in meiner noch gewisse Einschränkungen, aber vielleicht hast du eine andere darum wäre ich froh wenn du sie kurz hochladen könntest.   ─   karate 24.01.2021 um 09:38
Sehr gerne, hab einen Screenshot oben in den anfänglichen Text gepackt.   ─   akimboslice 24.01.2021 um 09:43
Okei ja ich kenne nur eine kurze Version dieses Satzes, aber es läuft auf das gleiche hinaus. Damit diese Aussagen stimmen muss \(f:V->V\) gehen wobei \(V\) endlich ist, das heisst wir haben die Dimension vom Definitionsbereich gleich der Dimension vom Zielbereich ist. Wenn das gilt und zusätzlich f linear ist, dann darfst du daraus folgern, dass wenn \(f\) injektiv \(\Leftrightarrow\) \(f\) surjektiv \(\Leftrightarrow\) \(f\) bijektiv (also \(f\) ist ein Isomorphismus. Dies ist sehr nützlich, da du dann für die Bijektivität wirklich nur Injektivität beweisen musst (ist einfacher als Surjektivität). Und wir haben ja gelernt, dass du das über den Kern beweisen kannst.
ich hoffe das ist verständlich genug   ─   karate 24.01.2021 um 09:50

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