Die Lipschitz Konstante

Erste Frage Aufrufe: 428     Aktiv: 14.06.2023 um 12:35

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Die Lipschitz Konstante ist also der größte Wert der Ableitung in einem Definitionsbereich. Gilt dies betraglich, oder ist das Maximum gemeint?

Sei also f gegeben, die Ableitung f´ berechnet und nimmt diese in D zum Beispiel den Maximalwert 2 und den Minimalwert -3 an. 

Ist die Lipschitz Konstante jetzt 2 oder 3 ?

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Ich hole mal kurz aus (sorry), ist zu lange für einen Kommentar. Angenommen, eine glatte Funktion mit Definitionsbereich $D$ ist Lipschitzstetig, mit Lipschitzkonstante $L$. Dann gilt für jedes $x \in D$

$$|f'(x)|= \lim_{h \to 0} \frac{|f(x+h)-f(x)|}{|x+h-x|} \leq \lim_{h \to 0} L\frac{h}{h}=L $$.

Folglich gilt, dass die Lipschitzkonstante notwendigerweise 

$$ \sup_{x \in D} |f'(x)| \leq L $$

erfüllen muss. Umgekehrt folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

$$|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)(x-y)| \leq |f'(\xi)| |x-y| \leq \sup_{\xi \in D}|f'(\xi)| |x-y|$$, 

dass jede Funktion mit beschränkter Ableitung Lipschitz ist und $L=\sup_{\xi \in D}|f'(\xi)|$ ist EINE Lipschitzkonstante. Aus der obigen überlegung wissen wir aber, dass dies auch die kleinstmögliche (oder bestmöglichste) Lipschitzkonstante ist. Sprich wir haben 

$$\sup_{\xi \in D} |f'(\xi)|=\inf \{L>0 \mid |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| \; \forall x,y \in D \}$$.

Jedes $L' > \sup_{\xi \in D}|f'(\xi)|$ ist eine weitere Lipschitzkonstante. Für Lipschitzstetigkeit ist dies übrigens vollkommen ausreichend. Dies gilt, da 

$$|f(x)-f(y)| \leq \sup_{\xi \in D} |f'(\xi)||x-y| < L'|x-y|$$

ebenfalls die Definition von Lipschitzstetigkeit erfüllt. Solange man also nicht andem konkreten Wert von $L$ interessiert ist (e.g. weil man den Banachschen Fixpunktsatz anweden mag), tut es jede Konstante $L$ oder auch $L+1$ oder auch $L'>L$, die die obige Relation erfüllt.

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In der Def. der L-Konstante kommen nur Beträge vor, daher ist bei differenzierbaren Funktionen nur das Max. des Betrags der Ableitung relevant.
Als Neuling lies erstmal den Kodex (link oben rechts) und schau wie hier mit Fragen umgegangen wird. Es geht hier nicht darum Lösungen vorzugeben (davon lernt man nichts), sondern diese im Dialog mit dem Frager zu erarbeiten.
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Anscheinend ist L aber nicht notwendigerweise das Maximum oder Supremum des Ableitungsbetrages im Definitionsbereich. Im angegebenen Beispiel wäre also L=2 falsch, da Betrag von -3 größer ist als 2,
L=3 wäre eine richtige Antwort, aber auch L=5 oder L = 17 wäre durchaus korrekt - wozu anscheinend noch der Beweis gehört, dass bei differenzierbaren Funktionen der Betrag der Sekantensteigung niemals größer sein kann als der Betrag der Ableitung, der Beweis wird mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung geführt.. Also ist L jede Zahl, die gräßergleich dem Supremum des Ableitungsbetrages ist, hier größergleich 3.
  ─   frank dischinger 13.06.2023 um 23:50

Es gibt kein eindeutiges L. Hat man ein L gefunden, das die Bedingung erfüllt, so tut es jedes größere L auch. Das ist bei vielen math. Bedingungen so.
Daher macht der Satz "Die LK ist also der größte Wert..." unsinnig, weil es DIE LK eben nicht gibt.
  ─   mikn 13.06.2023 um 23:58

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