Ich hole mal kurz aus (sorry), ist zu lange für einen Kommentar. Angenommen, eine glatte Funktion mit Definitionsbereich $D$ ist Lipschitzstetig, mit Lipschitzkonstante $L$. Dann gilt für jedes $x \in D$

$$|f'(x)|= \lim_{h \to 0} \frac{|f(x+h)-f(x)|}{|x+h-x|} \leq \lim_{h \to 0} L\frac{h}{h}=L $$.

Folglich gilt, dass die Lipschitzkonstante notwendigerweise 

$$ \sup_{x \in D} |f'(x)| \leq L $$

erfüllen muss. Umgekehrt folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

$$|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)(x-y)| \leq |f'(\xi)| |x-y| \leq \sup_{\xi \in D}|f'(\xi)| |x-y|$$, 

dass jede Funktion mit beschränkter Ableitung Lipschitz ist und $L=\sup_{\xi \in D}|f'(\xi)|$ ist EINE Lipschitzkonstante. Aus der obigen überlegung wissen wir aber, dass dies auch die kleinstmögliche (oder bestmöglichste) Lipschitzkonstante ist. Sprich wir haben 

$$\sup_{\xi \in D} |f'(\xi)|=\inf \{L>0 \mid |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| \; \forall x,y \in D \}$$.

Jedes $L' > \sup_{\xi \in D}|f'(\xi)|$ ist eine weitere Lipschitzkonstante. Für Lipschitzstetigkeit ist dies übrigens vollkommen ausreichend. Dies gilt, da 

$$|f(x)-f(y)| \leq \sup_{\xi \in D} |f'(\xi)||x-y| < L'|x-y|$$

ebenfalls die Definition von Lipschitzstetigkeit erfüllt. Solange man also nicht andem konkreten Wert von $L$ interessiert ist (e.g. weil man den Banachschen Fixpunktsatz anweden mag), tut es jede Konstante $L$ oder auch $L+1$ oder auch $L'>L$, die die obige Relation erfüllt.

In der Def. der L-Konstante kommen nur Beträge vor, daher ist bei differenzierbaren Funktionen nur das Max. des Betrags der Ableitung relevant.
Als Neuling lies erstmal den Kodex (link oben rechts) und schau wie hier mit Fragen umgegangen wird. Es geht hier nicht darum Lösungen vorzugeben (davon lernt man nichts), sondern diese im Dialog mit dem Frager zu erarbeiten.