Hallo,

aus dem Abitur ist dir die hinreichende Bedingung vielleicht noch für Funktionen mit einer Varbiable bekannt. Wenn wir das Extremum berechnen wollen, berechnen wir zuerst

$$ f'(x) = 0 $$

Das ist die notwendige Bedingung. Wenn wir aber wissen wollen, ob wirklich ein Hoch- bzw Tiefpunkt vorliegt, müssen wir das bestimmte \( x_0 \) noch in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, ob dort eine Wert ungleich Null heraus kommt

$$ f''(x_0) \neq 0 $$

das ist die hinreichende Bedingung. 

Notwendige Bedingung heißt so, da sie notwendig ist, damit ein bestimmter Fall zutreffen kann. Aber er muss es noch nicht zu 100%. Erst durch eine hinreichende Bedingung, können wir eine 100%ige Aussage treffen. Deshalb ist sie hinreichend. 

Im mehrdimensionalen Fall, überprüft man die Definitheit der Hesse Matrix in den kritischen Punkten. Ist diese positiv definit, liegt ein Minimum vor. Ist sie negativ definit, liegt ein Maximum vor. Bei Indefinitheit liegt ein Sattelpunkt vor.

Nun zu deinem Gleichungssystem. Wenn du die erste mit \( y^2 \) und die zweite mit \( x^2 \) multiplizierst, kannst du die Gleichungen voneinander abziehen. Bei \( y \) und \( x \) klappt das nicht. 

Ich würde es aber meistens damit versuchen, die Gleichungen umzustellen. Aber wie du es machen willst, ist natürlich dir überlassen :)

Wenn du dann die Differenz der veränderten ersten Gleichungen berechnet hast, musst du diese nach \( x \) oder \( y \) umstellen und in die dritte Gleichung einsetzen.

Grüße Christian