So schnell wird einem hier nichts übel genommen.
Aber Du weißt anscheinend, dass Deine Schreibweise falsch ist. Warum schreibst Du sie nicht richtig -  man kann sehr oft solche Formulierungen direkt in math. Notation umsetzen. Die Zeichen für "und" und "oder" kennst Du ja?!
Richtig ist für die gesamte Behauptung:
$p$ ist Primzahl $\land\, p\neq 2\longrightarrow$ es gibt ein $k$ mit $p=4k+1\lor p=4k+3$.
Lies diese Zeile (gerne laut!) und prüfe, ob es wörtlich(!) der Vorgabe entspricht.
Mach dasselbe mit Deiner Formulierung. Wenn es nicht passt, ist es falsch. In Deinem Fall: von der Schreibweise und auch logisch.
Zum Beweis:

Der Beweis ist deshalb Murks, weil die Festlegung von $k$ fehlt. Es wird behauptet, es gibt ein $k$, aber warum und was das für ein $k$ ist, wird übersprungen.
Davon mal abgesehen: Deine Prämissen stimmen - bis auf die Schreibweise (s.o.).

Die Implikation ist jedesmal dieselbe wie ganz am Anfang (s.o., "gesamte Beh."). Du sollst begründen, dass diese in allen Fällen wahr ist. Du hast neue Implikationen gebastelt, aber um die geht es nicht.
$A=f$ usw. ist auch falsch, wenn, dann "$A$ ist f".