LR-Zerlegung

Aufrufe: 342     Aktiv: 29.11.2021 um 20:00
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Hallo liebe Gemeinde,
folgende Aufgabenstellung


Habt ihr irgendwelche Tipps?

EDIT vom 29.11.2021 um 19:44:

Hier noch ein Auszug der Aufgaben.

Hab die weggelassen, da hier nur 3 Eigenschaften aufgezählt werden, und es für mich nicht relevant aussah. (Aber bin auch kein Mathematiker)
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gefragt

Punkte: 39

 
Hast du dir denn schon mal ein Beispiel gemacht und LM und RM berechnet?   ─   lernspass 28.11.2021 um 23:20
In der vorherigen Aufgabe mussten wir eine LR-Zerlegung durchführen mit einer Transpositionsmatrix.
Aber selbst, wenn ich jetzt ein anderes Beispiel nehme:

Sei \(M=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\) und \(L=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\), dann \(M \cdot L =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 7 & 6\\
6 & 10 & 1
\end{pmatrix}
\)

Klar ist, dass \(ML \not\in \mathcal{L}\) gilt. \(ML \in \mathcal{L}\) gilt nur, wenn \(M \in L\). Aber wie bringe ich das mathematisch aufs Papier?   ─   kowawo 28.11.2021 um 23:38
Es gibt doch die allgemeine Definition für die Matrizenmultiplikation. Da hast du doch dann für jeden Koeffizienten eine Summe stehen. Kannst du dir dann nicht die entsprechenden Koeffizienten anschauen und zeigen, dass die eben nicht 0 sind?   ─   lernspass 28.11.2021 um 23:44
Du meinst dann
\(M=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\) und \(L=
\begin{pmatrix}
e & f\\
g & h
\end{pmatrix} \Rightarrow ML=
\begin{pmatrix}
bg+ae & af+bh\\
dg+ce & cf +dh
\end{pmatrix} \) und dann begründen, dass die Einträge nicht null sind?

Jenes muss ich doch allgemein dann definieren für jedes \(n\). Ist das wirklich so gewollt?   ─   kowawo 28.11.2021 um 23:53
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Ne, lernspass meinte diese Definition der Matrix Multiplikation:
\(c_{ik} = \sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}\)
   ─   h1tm4n 29.11.2021 um 00:43
Danke cauchy. Zur Verteidigung, es ist spät.

Aber es gibt doch dennoch zig Fälle.

Die Matrix \(M\) besitzt nur \(1\)en auf der Diagonalen und mindestens einen Eintrag "oberhalb" der Diagonalen \(\neq 0\).
Die Matrix \(M\) besitzt nur \(0\)en "oberhalb" der Diagonalen und alle Einträge \(\neq 0\) und mindestens einen Eintrag \(\neq 1\) in der Diagonale. (Sonst nicht invertierbar)
...

Muss man jetzt jeden Fall für sich betrachten und aus argumentieren?   ─   kowawo 29.11.2021 um 02:09
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1 Antwort
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Zu i): Die L-Matrizen sind per Konstruktion invertierbar. Zeige mit Induktion: $L\in {\cal L}\Longrightarrow L^{-1}\in \cal L$. Das geht über Aufteilen in Blockform, einen Beweis findet man hier auf mathelounge für rechts-obere Dreiecksmatrizen (kann man übertragen, denn $L^T$ ist ja eine rechts-obere DM).
Weiter zeigt man per Induktion (Aufteilung in Blockform wie vorher): $L_1, L_2\in {\cal L}\Longrightarrow L_1\cdot L_2\in \cal L$.
Damit kann man die Beh. in i) ganz flott indirekt zeigen.
Zu ii) habe ich noch keine gute Idee, denn die R-Matrizen müssen ja nicht invertierbar sein.
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Uff, danke für die Antwort. Dann bemühe ich mich mal, um es erstmal zu verstehen. (Fun Fact: Die gibt 1 Punkt von 15 Punkten :D)   ─   kowawo 29.11.2021 um 19:12
Okay, hab jetzt noch ein Auszug der Aufgaben hinzugefügt. Ich weiß nicht, ob dieser ein entscheidenden "Aha-Effekt" hervorbringt.   ─   kowawo 29.11.2021 um 19:46

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