Eigenvektoren bestimmen

Aufrufe: 476     Aktiv: 14.02.2021 um 19:43
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Ich habe folgendes Problem, wenn ich für den folgenden Ausdruck den Eigenvektor nach Schema ausrechnen möchte, komme ich auf die Eigenwerte (2 und -5)=> (Lambda -2) (Lambda + 5) (Determinante), sowie dem folglich auf die Kombination 0 x + 0y = 0, 0x - 3y = 0 (d.h der Eigenvektor wäre 0 0 für Eigenwert 2) und analog für -5, ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das in der Form stimmt.
Rechenschritte
1. (In Lambda - A ) * Eigenvektor = 0
2. Det (In Lambda - A) = 0
3. Lambda Einsetzen, S2-Determinante anwenden => (Lambda - 2 ) (Lambda + 5)
Keine Ahnung, was ich genau falsch mache.
Danke schon mal :)

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Die Eigenwerte hast du richtig berechnet. Ich weiß nicht genau, was du für die Eigenvektoren gemacht hast, ich zeig dir mal, wie es für den Eigenwert \(\lambda=2\) geht.
Du musst das Gleichungssystem \(A-2E=0\) lösen, also $$\begin{pmatrix}0&0\\0&-7\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$ Für \(x=(x_1,x_2)^t\) folgt sofort \(x_2=0\) und \(x_1\in\mathbb R\) kann beliebig sein, also ist z.B. \(\binom10\) ein Eigenvektor.

Bei dieser Matrix ist die Sache übrigens viel einfacher: Bei Diagonalmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen und der \(i\)-te Standardvektor ist Eigenvektor zum Eigenwert, der an der Stelle \((i,i)\) steht. Dadurch kannst du sofort Eigenwerte und Eigenvektoren ablesen.
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Vielen Dank :) - Ja habe mich verrechnet anscheinend :/ :D   ─   infomarvin 14.02.2021 um 19:31
Nein weiß schon wieder es muss ja (so hätte ich es verstanden) 2 - A gelten, da A - 5 ist gilt 2 - (-5) oder?   ─   infomarvin 14.02.2021 um 19:38
Es ist egal, ob du \(A-2E=0\) oder \(2E-A=0\) löst, wenn du das meinst. Die Gleichungen liefern die gleichen Lösungen.   ─   stal 14.02.2021 um 19:40
weil wenns 5 wäre dann würde 2-5
wir haben es aus irgendeinem Grund umgekehrt gelernt, das macht aber keinen Unterschied, außer bez Vorzeichen, da der EV ja ein Vielfaches ist bzw. haben wir gelernt (Lambda In - A)x <=> (A - Lamda In)x oder?   ─   infomarvin 14.02.2021 um 19:42
ok kenn mich aus danke 🙂 war zeitgleich 😅   ─   infomarvin 14.02.2021 um 19:42
Genau. Der Grund, warum man \(\lambda I-A\) lernt, ist dass dann das charakteristische Polynom \(\det(\lambda I-A)\) normiert ist. Für die Berechnung der Eigenwektoren ist es aber, wie gesagt, egal.   ─   stal 14.02.2021 um 19:43

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Dass der Vektor \((0,0)^T\) immer eine Lösung ist, ist trivial und daher auch nicht zielführend. Aber wenn du dir dein System anschaust, dann solltest du sofort sehen, dass du \(x\) beliebig für den Eigenvektor wählen kannst, weil du in beiden Gleichungen \(0\cdot x\) stehen hast. Also hat die Wahl von \(x\) keinen Einfluss auf die Lösung, weshalb du \(x\) für den Eigenvektor wählen kannst wie du willst. Damit bekommst du auf einfache Weise deine zwei Eigenvektoren. Für den anderen Eigenwert funktioniert das analog. Dort kannst du dann \(y\) frei wählen.
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Danke :) Ja hab ich mir eh fast gedacht :) Faktor 0 * x = 0 (x = 0 wäre trivial, sonst kann alles eingesetzt werden)   ─   infomarvin 14.02.2021 um 19:31

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.