Umkehrabbildungen, allgemeine Fragen

Aufrufe: 76     Aktiv: 17.08.2022 um 19:58

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1) Wie prüfe ich, ob eine mehrdimensionale Abbildung umkehrbar ist? Muss ich dafúr die Jakobimatrix bilden und die Determinante der Matrix muss ungleich 0 sein? Wenn die Jakobimatrix invertierbar ist, ist dann auch die Abbildung umkehrbar?

2) Wie prüfe ich ob eine Abbildung lokal umkehrbar ist? Muss ich die Jakobimatrix bilden und diese gleich 0 setzten, weil sie um die Extremstelle herum nicht umkehrbar ist, da sie nicht streng monoton steigt oder fällt und jedem y Wert mehr als ein x Wert zugeordnet wird?

3) Was hat Differenzierbarkeit mit Umkehrbarkeit zu tun?
Wann ist eine Abbildung global umkehrbar und hat ein differenzierbares Koordinatensystem ? 

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Umkehrbarkeit ist immer eine Frage der Kategorie,  so gibt es Umkehrabbildungen in der Kategorie der Mengen, so wie du wahrscheinlich kennst. Dann gibt es aber auch Umkehrbarkeit in Kategorie von normierten Räumen,  wo beispielsweise die Morphismen die stetig differenzierbaren Funktionen sind. Eine Umkehrabbildung man nennt hier Diffeomorphismus. Ein Morphismus der in dieser Kategorie der normierten Räume invertierbar ist, ist auch invertierbar in der Kategorie der Mengen (es liegt genauer daran, dass wir hier Vergissfunktor haben). Um Umkehrbarkeit in Kategorie der normierten Räumen zu untersuchen, hilft dir der Satz der Umkehrfunktion (der der aus dem Satz über implizite Funktionen folgt). Genauer: dieser Satz liefert dir lokale Umkehrbarkeit mit stetig differenzierbarer Umkehrfunktion. 

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