Umkehrbarkeit ist immer eine Frage der Kategorie,  so gibt es Umkehrabbildungen in der Kategorie der Mengen, so wie du wahrscheinlich kennst. Dann gibt es aber auch Umkehrbarkeit in Kategorie von normierten Räumen,  wo beispielsweise die Morphismen die stetig differenzierbaren Funktionen sind. Eine Umkehrabbildung man nennt hier Diffeomorphismus. Ein Morphismus der in dieser Kategorie der normierten Räume invertierbar ist, ist auch invertierbar in der Kategorie der Mengen (es liegt genauer daran, dass wir hier Vergissfunktor haben). Um Umkehrbarkeit in Kategorie der normierten Räumen zu untersuchen, hilft dir der Satz der Umkehrfunktion (der der aus dem Satz über implizite Funktionen folgt). Genauer: dieser Satz liefert dir lokale Umkehrbarkeit mit stetig differenzierbarer Umkehrfunktion.