Bestimmung eines dritten Parameters an einem bestimmten Punkt

Aufrufe: 742     Aktiv: 02.01.2020 um 15:04
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Nachdem ich gerade die komplette Frage mit allen Formelformatierungen eingegeben habe und oben links auf "Frage stellen +" geklickt habe und nun alles weg ist, nun Versuch Nummer 2! :(

\(f(x,y,a)= x^3+y^3=3axy\)

Die Aufgabe erfragt, für welches \(a\) die Funktion eine horizontale Tangente an Punkt \(P=(4,2)\) hat. 

Ich habe die Funktion dann implizit abgelitten (wortwörtlich) und komme auf die mit der Lösung übereinstimmende Ableitung \(y'=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\).

Aus meinem Verständnis ergibt sich, dass die erste Ableitung = 0 ergibt, wenn die Funktion an einem bestimmten Punkt eine horizontale Tangente hat, also dessen Steigung = 0 ist.

Da die Ableitung eine gebrochen rationale Funktion ist, habe ich nur den Zähler betrachtet und die Werte für x = 4 und y = 2 eingesetzt. Ich komme auf \(0=2a-4^2\) bzw. \(a=8\).

Die Lösung meldet aber \(a=\{\}\). Hilfe.

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Student, Punkte: 25

 
Einen kleinen Nachtrag: ich habe in alten Unterlagen eine Fortführung gefunden:
Aus \(Y = \frac{Z(x)}{N(x)}= \frac{ay-x^2}{y^2-ax}\) und \(a=8\) folgt, dass \(a=\frac{y^2}{x}\)ist. Hilft mir nur bedingt weiter. Aber x und y in a eingesetzt ergibt 1. Und vorher war a = 8. Ich habe echt ein Blatt vor den Augen..   ─   helpmath 31.12.2019 um 12:24
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Löst du \(f' = 0 \) nach \(a\) auf, so erhältst du \(\dfrac{ay-x^2}{y^2-ax} =0 \Longrightarrow ay-x^2 = 0 \Longrightarrow a=\dfrac{x^2}{y} \Longrightarrow a=\dfrac{4^2}{2} = 8\).

Nun, für \(a=8\) berührt der Graph von \(f\) den Punkt nicht. Das verrät dir die Ableitung aber nicht.

Mit \(f(4,2,a) = 4^3+2^2 = 3a\cdot 4\cdot 2\) folgt, dass \(a = \dfrac{17}{6}\) sein muss. Die drei Werte in \(f'\) eingesetzt ergibt die Steigung \(m=\dfrac{31}{22}\).

Offensichtlich ist \(8\neq  \dfrac{17}{6}\), weshalb keine Lösung existiert.

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Danke! Habe verstanden, Sir. Also im Zweifel immer mithilfe der Funktion auf Plausibilität prüfen.   ─   helpmath 02.01.2020 um 14:02

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