Abschnittsweise definierte Funktion diffbar

Aufrufe: 366     Aktiv: 21.01.2022 um 19:38
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Hey, ich bin schon fast fertig, nur beim zeigen, dass f auch in 0 diffbar ist, habe ich bisschen probleme.
Ich habe schon gezeigt, dass f für x ungleich 0 diffbar ist, allerdings weiß ich jetzt nicht ganz, wie ich das hier für x=0 zeige. Ich dachte eigentlich, dass ich die definition für Differenzierbarkeit einmal für x-> x*(1+2x sin(1/x)) mit x=0 anwende und einmal die definition für x->0 anwende und zeige, dass bei beiden der gleiche Wert rauskommt. 

Habe auch nirgendwo so richtig gefunden, was genau da gemacht werden muss, kann mir jemand vielleicht  helfen? :)
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Also den rechtseitigen und linkseitigen Limes untersuchen?   ─   user1312000 21.01.2022 um 17:02
Hm okay, dann ist mir aber noch nicht ganz klar, warum das dann mit dem x=0 passt. Die Funktion ist ja abschnittsweise definiert. Sagen wir mal, die Abbildung f ist die Abbildung f_1 für x ungleich 0 und f ist f_2 falls x=0.

Prüfe ich mit dem was du mir geschrieben hast nicht dann, dass f_1 in 0 diffbar ist?   ─   user1312000 21.01.2022 um 17:08
Okay eine letzte frage noch. Da ich ja die Stelle 0 untersuche, gilt x_0 = 0. somit habe ich für f(0) = 0*(1+2*0 * sin(1/0)). Ist der Sinus dann überhaupt definiert oder lasse ich sin (1/x_0) stehen und argumentiere, dass das Produkt mit einem 0 Faktor immer 0 ist?   ─   user1312000 21.01.2022 um 17:17
Achso klar, denkfehler.
danke dir :)   ─   user1312000 21.01.2022 um 17:21
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Der entscheidende Punkt ist, wie oft, die Definition, die steht auch in Deinen Unterlagen.

$f$ ist diffbar in $0 \iff \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ konv. für $x\to 0$. In diesem Fall ist der Grenzwert (per Def.) $f'(0)$.
Angaben aus der Aufgabe einsetzen, ausrechnen (ein spezieller Konvergenzsatz ist hier nötig, den Du auch in Deinen Unterlagen findest), fertig.
Mit links- und rechtsseitigem Grenzwert hat man hier nichts zu tun.
Wenn man die Ableitung komplett bestimmt hat (also $f'(x)$ für $x\neq 0$ und $f'(0)$, schreibt man sie per Fallunterscheidung hin (also wie das $f$ auch angegeben ist) und prüft auf Stetigkeit.

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