Lineare Abbildung konkretes bsp

Aufrufe: 55     Aktiv: 05.12.2021 um 16:53

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Moin, die Aufgabe (i) konnte ich schon recht einfach an einem bsp widerlegen.
Ich weiß irgendwie nur nicht, wie ich das bei (ii) beweisen soll... Kann mir da jemand eine Hilfestellung geben? :)
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Wenn $f$ linear ist, muss gelten $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$.
Ich hoffe Du hast das in a) angewandt mit $x=(1,2)$ und $y=(2,1)$.
Das ist in a) nicht erfüllt, in b) aber schon. Da in b) sonst nichts gefordert ist, gibt es so eine lin. Abb. Da wir ja in R^n sind, lässt sich diese mithilfe einer Matrix schreiben:
$f(x,y)= A\, (x,y)^T$ mit einer $3\times 2$-Matrix $A$. In der Matrix stehen wie immer in den Spalten die Bilder der Basisvektoren der Standardbasis.
Rechne also $f(1,0)$ und $f(0,1)$ aus und schreib die Ergebnisse nebeneinander, fertig.
Ausrechnen geht genauso wie das oben gesagte mit $\lambda, \mu$.
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Bzw etwas formaler, angenommen es sei eine Lineare Abbildung, dann muss auch gelten mit 3,-2 aus K:

f( 3*(1,2) + (-2)*(2,1)) = 3* (1,0,0) + (-2)*(0,1,0)

f((-1,4)) = (3,-2,0) und das ist der Widerspruch
  ─   user1312000 05.12.2021 um 16:12

So habe ich (i) widerlegt

(ii) kann ich nicht mit Matrizen beweisen, weil ich das Thema noch gar nicht hatte...
  ─   user1312000 05.12.2021 um 16:19

Ok. (i) hast Du optimal gemacht.
Anleitung für (ii) ohne Matrix:
Nun mach für (ii) das gleiche, was Du mit (-1,4) gemacht hast, einmal mit (1,0) und einmal mit (0,1). Die beiden Bilder nennen wir mal (a,b,c) und (e,f,g). Dann lautet die Abbildung:
f(x,y)= (ax+ey, bx+ey, cx+fy). Das ist nämlich dasselbe wie xf(1,0)+yf(0,1).
  ─   mikn 05.12.2021 um 16:21

Ich versteh nicht ganz, woher (1,0) und (0,1) kommen oder meinst du (1,0,0) und (0,1,0)?
Jedenfalls nennen wir dann (1,0,0) = (a,b,c) und (0,1,0) = (e,f,g)

Dann betrachten wir uns die Abbildung f((x,y))= (ax+ey, bx+ey, cx+fy) und nebenher zeigen wir, dass wenn wir für a,b,c,d,e,f wieder unsere gegebenen Werte (1,0,0) und (0,0,1) einsetzen, wir wieder das gleiche erhalten?

Ich versteh dabei nicht ganz, was f(x,y) bedeuten soll? Sind das Werte aus dem Körper oder wie. Und warum soll das dann = (ax+ey, bx+ey, cx+fy) sein?
  ─   user1312000 05.12.2021 um 16:46

f(x,y) ist der Wert der Abb an der Stelle (x,y), wie üblich.
Setze f(1,0)=(a,b,c), f(0,1)=(e,f,g), da hast Du ja konkrete Zahlen aus der Rechnung. da Du ja f(-1,) ausrechnen kannst, kannst Du diese ja auch ausrechnen. Dann lautet die allg. Vorschrift wie in meinem vorigen Kommentar angegeben. Gehe schrittweise einfach so vor. Überlege NICHT am Anfang, was der Schritt am Ende soll.
  ─   mikn 05.12.2021 um 16:53

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