Zunächst einmal gilt

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1!}{1! \cdot (1-1)!} = \frac{1!}{1! \cdot 0!} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1 \)

Außerdem gilt

\( \begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix} = \frac{20!}{k! \cdot (20-k)!} = \frac{20 \cdot 19!}{k \cdot (k-1)! \cdot (19-(k-1))!} = \frac{20}{k} \cdot \frac{19!}{(k-1)! \cdot (19-(k-1))!} = \frac{20}{k} \cdot \begin{pmatrix} 19 \\ k-1 \end{pmatrix}\)

Damit lässt sich die Aufgabe nun ganz einfach lösen

\( \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 19 \\ k-1 \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix}} = \frac{1 \cdot \begin{pmatrix} 19 \\ k-1 \end{pmatrix}}{ \frac{20}{k} \cdot \begin{pmatrix} 19 \\ k-1 \end{pmatrix}} = \frac{k}{20} \)