Moin LaraBecker.
Das \(t\) ist eine beliebige reelle Zahl, du kannst es also auch als solche behandeln. Wenn du nun Nullstelle, Extrema, etc. bestimmst gehst du ganz normal vor, als wäre das \(t\) eine Zahl. Am Ende hängt deine Lösung dann von \(t\) ab, das ist genauso gewollt.
Schauen wir uns nun einmal die Nullstellen von \(f_t(x)=(t-x)e^x\) an.
\(0=(t-x)e^x\)
Wie geht es nun weiter? Wann, und nur wann, wird ein Produkt aus zwei Faktoren \(0\)? Klingelt es da bei dir?

Grüße