Hallo zusammen, ich habe hier folgende Aufgabe mitgebracht:

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und habe das Ganze einmal exemplarisch in Geogebra visualisiert:

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Dazu habe ich mir folgendenen Beweis überlegt:

$APB$ ist nach Vor. gleichschenklig, also liegt $P$ auf der Geraden $M_{AB}M_{DC}$, da nur für Punkte auf dieser Geraden gilt: $|PA|=|PB|$. Nun sage ich: $\exists Q \in M_{AB}M_{DC}$, sodass $QDC$ ein gleichseitiges Dreieck ist. Logischerweise muss $Q$ auf $M_{AB}M_{DC}$ liegen, sonst wäre schon die Bedingung an die Gleichschenkligkeit nicht erfüllt. Also brauche ich nur noch zu zeigen, dass $P=Q$.

Aus der Tatsache, dass $ABCD$ ein Quadrat und $PAB$ gleichschenklig ist kann ich folgern: $|AD|=|BC|$, $|PA|=|PB|$ und $\angle CBP = \angle PAD = 75°$, also sind $PBC$ und $APD$ nach SWS kongruent und es gilt $|PC|=|PD|$. Nun habe ich mir vorhin ein $Q$ derart konstruiert, dass $|QC|=|QD|$ und da $Q$ und $P$ beide auf $M_{AB}M_{DC}$ liegen, muss gelten $P=Q$ und somit ist $PCD$ gleichseitig.

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Frage: Ist dieser Beweis in dieser Form schlüssig? Ist er so richtig? Hat jemand Vorschläge ihn zu modifizieren oder ggf. zu optimieren?