Gleichseitiges Dreieck im Quadrat

Erste Frage Aufrufe: 144     Aktiv: 25.02.2024 um 18:45

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Hallo zusammen, ich habe hier folgende Aufgabe mitgebracht:


und habe das Ganze einmal exemplarisch in Geogebra visualisiert:



Dazu habe ich mir folgendenen Beweis überlegt:

$APB$ ist nach Vor. gleichschenklig, also liegt $P$ auf der Geraden $M_{AB}M_{DC}$, da nur für Punkte auf dieser Geraden gilt: $|PA|=|PB|$. Nun sage ich: $\exists Q \in M_{AB}M_{DC}$, sodass $QDC$ ein gleichseitiges Dreieck ist. Logischerweise muss $Q$ auf $M_{AB}M_{DC}$ liegen, sonst wäre schon die Bedingung an die Gleichschenkligkeit nicht erfüllt. Also brauche ich nur noch zu zeigen, dass $P=Q$.

 

Aus der Tatsache, dass $ABCD$ ein Quadrat und $PAB$ gleichschenklig ist kann ich folgern: $|AD|=|BC|$, $|PA|=|PB|$ und $\angle CBP = \angle PAD = 75°$, also sind $PBC$ und $APD$ nach SWS kongruent und es gilt $|PC|=|PD|$. Nun habe ich mir vorhin ein $Q$ derart konstruiert, dass $|QC|=|QD|$ und da $Q$ und $P$ beide auf $M_{AB}M_{DC}$ liegen, muss gelten $P=Q$ und somit ist $PCD$ gleichseitig.

 

 

Frage: Ist dieser Beweis in dieser Form schlüssig? Ist er so richtig? Hat jemand Vorschläge ihn zu modifizieren oder ggf. zu optimieren?

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Die Info $P=Q$ bringt dir nichts. Du hast erstmal nur gezeigt, dass das Dreieck $QCD$ gleichschenklig ist. Dass aber die Seite des Quadrats genauso lang ist, hast du nicht gezeigt. Zeige dazu, dass die beiden kongruenten Dreiecke gleichschenklig sind.
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Die Existenz von Punkt $Q$ wurde von mir eingeführt, um annehmen zu können, dass $\angle QCB=30°$. Mit dem Innenwinkelsatz muss dann gelten: $\angle BQC=75°$. Also gilt für die Schenkel des Dreiecks $BQC$: $|BC|=|PC|$. Oben habe ich ja dann weiter den Beweis geführt, dass $P=Q$ ist und somit gilt für das Gesamtdreieck $PCD$, dass es tatsächlich gleichschenklig ist, mit den Seitenlängen des Quadrates.

Danke für deinen Hinweis, das hat mir geholfen.
  ─   rebimey224 25.02.2024 um 18:44

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