Hey Felix,

du hast hier eine zusammengesetzte Funktion, die stückweise definiert ist. Die dargestellte Funktion ist so zu lesen, dass für alle x kleiner gleich 0 die Funktion einfach mit \( x \) abbildet. Für alle x zwischen 0 und 2 wird dann mit \( x^2 \) abgebildet und für alle weiteren x-Werte wird eben die e-Funktion benutzt.

Alle 3 Funktionen sind an und für sich stetig. Deshalb musst du in den jeweiligen Intervallen keine Stetigkeitsuntersuchung machen. Allerdings musst du die Übergangsstellen untersuchen.

So findet ja an der Stelle \( x = 0 \) ein Wechsel zwischen den beiden Funktionsteilen statt. Die Frage ist, ob der Übergang zwischen der linearen Funktion und der quadratischen Funktion stetig ist. Dafür musst du wie von dir beschrieben den Funktionswert an der Stelle \( x_0 = 0 \), sowie den rechtsseitigen (und eigentlich auch linksseitigen Grenzwert) an der Stelle \( x_0 = 0 \) untersuchen.

Analog musst du an der zweiten Übergangsstelle \( x_0 = 2 \) vorgehen.