Lineare Abbildungen & Herleitung

Aufrufe: 69     Aktiv: 09.03.2021 um 21:54

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Kann mir jemand erklären wie das geht? Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch!

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Eine Drehung des Punktes \( (x, y)^T \) um die z-Achse ist im wesentlichen nichts anderes, als die Drehung des Punktes im zweidimensionalen um den Ursprung.
Um das ganze möglichst einfach zu gestalten, betrachten wir zunächst \( e_1 = (1, 0)^T \) und \( e_2 = (0, 1)^T \). Die Drehung des Punktes \( e_1 \) um den Ursprung verläuft auf dem Einheitskreis. Für einen gegebenen Winkel \( \varphi \) kannst Du also den Endpunkt bestimmen, indem Du ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse 1 betrachtest. Die neue \( x \)-Koordinate nach der Drehung ist nun genau die Länge der Ankathete. Die neue \( y \)-Koordinate ist die Länge der Gegenkathete. Eine Drehung von \( e_1 \) um \( \varphi \) führt also zu dem neuen Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = \cos \varphi \) und \( y = \sin \varphi \). Analog macht man das ganze nun mit \( e_2 \). Hier ist die \( x \)-Koordinate die negative Länge der Gegenkathete (Drehung nach links landet im negativen Bereich) und die \( y \)-Koordinate ist die Länge der Ankathete. Eine Drehung von \( e_2 \) um \( \varphi \) führt also zu einem Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = - \sin \varphi \) und \( y =  \cos \varphi \). Betrachtet man nun einen belibigen Punkt \( \binom{x}{y} \) und schreibt ihn als \( \binom{x}{y} = x e_1 + y e_2 \), dann führt eine Drehung um \( \varphi \) zu \( x \binom{\cos \varphi}{\sin \varphi} + y \binom{- \sin \varphi}{\cos \varphi} \). Typischerweise schreibt man das als Multiplikation \( \begin{pmatrix} cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) und Spricht von einer sog. Drehmatrix. 

Wenn das nicht ganz verständlich war, dann würde ich das Vorgehen mal aufmalen. Dann wird es klarer.
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