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Eine Drehung des Punktes \( (x, y)^T \) um die z-Achse ist im wesentlichen nichts anderes, als die Drehung des Punktes im zweidimensionalen um den Ursprung.
Um das ganze möglichst einfach zu gestalten, betrachten wir zunächst \( e_1 = (1, 0)^T \) und \( e_2 = (0, 1)^T \). Die Drehung des Punktes \( e_1 \) um den Ursprung verläuft auf dem Einheitskreis. Für einen gegebenen Winkel \( \varphi \) kannst Du also den Endpunkt bestimmen, indem Du ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse 1 betrachtest. Die neue \( x \)-Koordinate nach der Drehung ist nun genau die Länge der Ankathete. Die neue \( y \)-Koordinate ist die Länge der Gegenkathete. Eine Drehung von \( e_1 \) um \( \varphi \) führt also zu dem neuen Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = \cos \varphi \) und \( y = \sin \varphi \). Analog macht man das ganze nun mit \( e_2 \). Hier ist die \( x \)-Koordinate die negative Länge der Gegenkathete (Drehung nach links landet im negativen Bereich) und die \( y \)-Koordinate ist die Länge der Ankathete. Eine Drehung von \( e_2 \) um \( \varphi \) führt also zu einem Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = - \sin \varphi \) und \( y = \cos \varphi \). Betrachtet man nun einen belibigen Punkt \( \binom{x}{y} \) und schreibt ihn als \( \binom{x}{y} = x e_1 + y e_2 \), dann führt eine Drehung um \( \varphi \) zu \( x \binom{\cos \varphi}{\sin \varphi} + y \binom{- \sin \varphi}{\cos \varphi} \). Typischerweise schreibt man das als Multiplikation \( \begin{pmatrix} cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) und Spricht von einer sog. Drehmatrix.
Wenn das nicht ganz verständlich war, dann würde ich das Vorgehen mal aufmalen. Dann wird es klarer.
Um das ganze möglichst einfach zu gestalten, betrachten wir zunächst \( e_1 = (1, 0)^T \) und \( e_2 = (0, 1)^T \). Die Drehung des Punktes \( e_1 \) um den Ursprung verläuft auf dem Einheitskreis. Für einen gegebenen Winkel \( \varphi \) kannst Du also den Endpunkt bestimmen, indem Du ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse 1 betrachtest. Die neue \( x \)-Koordinate nach der Drehung ist nun genau die Länge der Ankathete. Die neue \( y \)-Koordinate ist die Länge der Gegenkathete. Eine Drehung von \( e_1 \) um \( \varphi \) führt also zu dem neuen Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = \cos \varphi \) und \( y = \sin \varphi \). Analog macht man das ganze nun mit \( e_2 \). Hier ist die \( x \)-Koordinate die negative Länge der Gegenkathete (Drehung nach links landet im negativen Bereich) und die \( y \)-Koordinate ist die Länge der Ankathete. Eine Drehung von \( e_2 \) um \( \varphi \) führt also zu einem Punkt \( (x, y)^T \) mit \( x = - \sin \varphi \) und \( y = \cos \varphi \). Betrachtet man nun einen belibigen Punkt \( \binom{x}{y} \) und schreibt ihn als \( \binom{x}{y} = x e_1 + y e_2 \), dann führt eine Drehung um \( \varphi \) zu \( x \binom{\cos \varphi}{\sin \varphi} + y \binom{- \sin \varphi}{\cos \varphi} \). Typischerweise schreibt man das als Multiplikation \( \begin{pmatrix} cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) und Spricht von einer sog. Drehmatrix.
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tim6502
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