Summe von Idealen

Erste Frage Aufrufe: 106     Aktiv: 03.07.2022 um 20:07

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f(x) = x-1 ist ein Ideal im Ring der Abbildungen von z.B. Z -> Z, da (f*h)(1) = f(1)*h(1) = 0 für alle Abbildungen h. Das gleiche gilt für g(x) = x-2.

In den üblichen Algebra-Bücher steht, dass die endliche Summe von Idealen wieder ein Ideal ist.

Aber: [(f + g)*h](1) = f(1)*h(1) + g(1)*h(1) = g(1)*h(1) \neq  0 im Allgemeinen. Wo liegt mein Denkfehler?

EDIT vom 03.07.2022 um 19:55:

Jetzt in etwas schöner (Latex geht ja hier auch :-) ):

$I:=\{ f \mid  f:Z \to Z$ mit $f(1)=0   \}$ ist ein Ideal in $Abb(Z,Z)$.
Das gleiche gilt für $J:=\{ g \mid  g:Z \to Z$ mit $f(2)=0   \}$.

Ich sehe allerdings nicht, das $I+J$ auch ein Ideal in $Abb(Z,Z)$ ist.

Wo liegt mein Denkfehler?

PS: mathbb klappt aber scheinbar nicht. Wie schreibt man denn hier Zahlenmengen?
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1 Antwort
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Ich glaube du verstehst Ideal nicht richtig. Die Abbildung \(f\) im Ring aller Abbildungen \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\), lass uns \(R\) nennen, ist kein Ideal. Du redest sicher von dem von \(f\) erzeugten Ideal \((f)\). Das ist die Menge aller Vielefachen von \(f\) mit Elementen in \(R\) und deshalb nach Definition ein Ideal. Mit gleich 0 hat das nichts zu tuhen, das hast du wahrscheinlich bei Kern von Homomorphismen gelesen. Natürlich ist zwar jedes Ideal Kern eines Ringhomomorphismus,  aber das erkläre ich besser nur wenn du danach fragst. Wenn du ein konkretes Beispiel hast kann ich dir vielleicht besser helfen
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Wow, das war eine schnelle Antwort, Respekt!

Ich meinte mit dem Ideal f genauer die Menge { f | f: Z -> Z mit f(1) = 0} , g analog. Das ändert allerdings nichts an meiner Frage.
  ─   user84cb32 03.07.2022 um 19:06

Okay, das ist auch ein Ideal! Jetzt sagtest du, dass du die Summe mit einem anderem Ideal bilden willst, welches Ideal meinst du da? Alle \(f \in R\) mit \(f(2)=0\)?   ─   mathejean 03.07.2022 um 19:49

Genau. Hatte ein wenig mit der Eingabe hier zu kämpfen ;-)   ─   user84cb32 03.07.2022 um 19:58

Okay, ich mache mal abgeschlossenheit von Addition. Für \(f,g \in I+J\) schreibe \(f=f_i+f_j\) und \(g=g_i+g_j\), dann ist \(f+g=(f_i+f_j)+(g_i+g_j)=(f_i+g_i)+(f_j+g_j) \in I +J\).   ─   mathejean 03.07.2022 um 20:05

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