Aus Summen kürzen nur die Dummen

Aufrufe: 77     Aktiv: 20.08.2021 um 19:19

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Es geht um folgende Aufgabe meine Frage ist weil ich die Regel ehrlich gesagt nicht so verinnerlicht habe wie ich sollte. Kann ich hier (k+1) im Nenner gegen k+1 im Zähler kürzen oder würde nur die "2" kürzbar sein ?
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Hallo,

zuerst einmal musst du auch sehr vorsichtig mit der Multiplikation sein. Wenn du zwei Summen miteinander multiplizierst, dann multiplizierst du jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe. Das bedeutet für dich

$$ \frac {\frac {k+1} {2(k+1)+1}} {\frac k {2k+1}} = \frac {(k+1) \cdot (2k+1)} {(2(k+1)+1) \cdot k} $$

Also am besten immer schön Klammern setzen, damit du da nicht durcheinander kommst. 

Um nun etwas in einem Bruch zu kürzen, muss es sowohl im Zähler als auch im Nenner als Faktor vorkommen. Im Zähler ist $k+1$ ein Faktor. Im Nenner aber nicht. Deshalb kannst du das hier nicht so einfach kürzen. Man sieht es vielleicht noch besser wenn man den Nenner ausmultipliziert. 

$$ (2(k+1) + 1) \cdot k = 2k^2 + 3k $$ 

Als Tipp für deine Berechnung: Multipliziere auch den Zähler komplett aus. Dann klammere mal die höchste Potenz von $k$ sowohl im Nenner als auch im Zähler aus. Diese kannst du dann miteinander kürzen. Kommst du drauf, wogegen der Rest dann konvergiert?

Grüße Christian
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Hallo, vielen Dank du hast absolut Recht hat mir sehr viel geholfen. Ich bekomme am Ende raus (2 + 0 + 0 +0) / (2 +0) = 2/2 = 1 also konvergiere ich zu 1 und habe laut QK keine Aussage über die Konvergenz   ─   user895a23 18.08.2021 um 18:04

Jap das ist richtig.
Für die Konvergenz/Divergenz einer Reihe solltest du zu aller erst immer erstmal eine Sache überprüfen.
Konvergiert die Folge $a_k = \frac k {2k+1}$ und wenn ja gegen welchen Wert?
  ─   christian_strack 18.08.2021 um 21:13

Ich denke die Reihe müsste gegen 1/2 konvergieren wenn ich mich nicht irre   ─   user895a23 20.08.2021 um 18:37

Die Folge. Aber ja genau. Die Koeffizientenfolge der gegebenen Reihe konvergiert gegen $\frac 12 $. Sagt dir das Trivialkriterium etwas?   ─   christian_strack 20.08.2021 um 19:18

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