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Brauche dringend Hilfe, finde keinen Ansatz...

EDIT vom 20.06.2022 um 21:42:

Stimmt das jetzt so? Oder habe ich noch etwas vergessen?

 

EDIT vom 20.06.2022 um 22:10:

wie löse ich das jetzt weiter auf?

EDIT vom 20.06.2022 um 23:17:

Stimmt das jetzt so? Beim distributivgesetz weiß ich nicht weiter...

EDIT vom 21.06.2022 um 12:34:

so müsste das jetzt stimmen? Damit wäre der Beweis dass RxS ein Ring ist fertig oder?

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1 Antwort
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Okay, dann fangen wir mit erste Axiom an, lade gerne deine Versuch hoch
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Student, Punkte: 8.71K

 

Mir fehlt leider der Ansatz, welche 3 Elemente nehme ich denn jetzt um das Assoziativgesetz der Addition zu zeigen?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 23 Stunden

Okay, dann kann ich dir helfen! Wir brauchen drei Elemente aus \(R\times S\), die haben aber die Form \((r_i,s_i)\) mit \(r_i \in R\) und \(s_i \in S\) für \(i=1,2,3\)   ─   mathejean vor 4 Tagen, 22 Stunden

Woher nimmst du i=1,2,3?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 22 Stunden

Wir brauchen für das Assoziativ drei Elementen   ─   mathejean vor 4 Tagen, 22 Stunden

Die kann man sich einfach selbst wählen?
Und jetzt einfach
Assoziativität bzgl.*: (1+2)+3=1+(2+3)=6 und damit ist es gezeigt oder schreibt man es anders auf?
  ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 22 Stunden

Und was mache ich mit dem Nullelement und dem Einselement?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 22 Stunden

Okay, hier fehlt anscheinend grundlegendes Verständnis. Du nimmst nicht die Zahlen 1, 2, 3, sondern drei verschiedene Elemenet $(r_i,s_i)\in R\times S$.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 22 Stunden

Also r1, r2 und s2 zum Beispiel?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 22 Stunden

Nein. Ein Element hat die Form $(r_1,s_1)$. Das gehört zusammen.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 21 Stunden

Achso ok verstehe danke.
Also schreibe ich
Assoziativgesetz der Addition:( (r1,s1)+ (r2,s2) ) + (r3,s3) = (r1,s1) +( (r2,s2) + (r3,s3) ) und damit reicht das oder?
  ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 21 Stunden

Nein, reicht nicht. Es ist ja völlig unklar, warum du das Gesetz einfach anwenden kannst. Du musst das schon ausführlich aufschreiben und ausnutzen, dass $R$ und $S$ Ringe sind.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 21 Stunden

Siehe oben: stimmt das jetzt so?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 21 Stunden

Siehe meinen letzten Kommentar. Du hast nur hingeschrieben, was du zeigen musst. Gezeigt hast du allerdings nichts.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 21 Stunden

Und wie schreib ich das auf?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 21 Stunden

Kannst du mal bitte für (A1) das richtig aufschreiben und mir so an einem Beispiel zeigen?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 21 Stunden

Du musst einfach die Verknüpfungen, die angegeben sind, benutzen: $(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2)=(r_2+r_1,s_2+s_1)=(r_2,s_2)+(r_1,s_1)$. Beim zweiten Gleichheitszeichen wird ausgenutzt, dass $R$ und $S$ Ringe sind und man daher innerhalb des Tupels das Kommutativgesetz anwenden darf.

Die Aufgabe ist eigentlich eine reine Schreibübung, da steckt nicht viel hinter. Aber es ist wichtig, dass man die Definitionen und Regeln korrekt anwendet.
  ─   cauchy vor 4 Tagen, 21 Stunden

Und das muss ich jetzt für jedes machen? Ok dann Versuch ich das nochmal :)   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 20 Stunden

Siehe oben: wie fahre ich jetzt bei dem Assoziativgesetz weiter fort bzw. löse das weiter auf?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 20 Stunden

Na, nochmal die Verknüpfung anwenden.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 20 Stunden

Wie denn das? Da habe ich doch dann (r1+r2+r3, s1+s2+s3)?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 20 Stunden

Ja und? Du willst ja das Assoziativgesetz zeigen.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 20 Stunden

Ok ich wusste nicht dass das geht. Und dann ziehe ich nur r1,s1 raus und lasse das andere erstmal so stehen oder?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 20 Stunden

Siehe oben: stimmt das jetzt so? Ich bräuchte beim distributivgesetz Hilfe wie ich da jetzt weitermache   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 19 Stunden

Das sieht soweit gut aus, ich habe aber nur überflogen. Wie du siehst ist es ja sehr viel Fleißarbeit. Distributivgesetz ist soweit schonmal richtig, rechne jetzt doch mal \((r_1+r_2,s_1+s_2)\cdot (r_3,s_3)\) aus (Definition der Multiplikation vom Produkt), danach kannst du mit der Distributibität in den Ringen arbeiten.   ─   mathejean vor 4 Tagen, 9 Stunden

Also ist das dann (r1*r3 + r2*r3, s1 *r3 +s2*r3) * ( r1*s3+r2*s3, s1*s3+s2*s3) ? Ne oder?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 7 Stunden

Nein, aber fast, du erhälst \(((r_1+r_2)r_3,(s_1+s_2)s_3)\). Man muss nur konsequent Definition verwenden   ─   mathejean vor 4 Tagen, 7 Stunden

Und wie wende ich jetzt die distributivität in Ringen an?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 7 Stunden

In R gilt \((r_1+r_2)r_3=r_1r_3+r_2r_3\). In S analog   ─   mathejean vor 4 Tagen, 6 Stunden

Siehe oben: so müsste das jetzt stimmen oder? Und damit ist gezeigt, dass die Menge RxS ein Ring ist fertig oder fehlt noch etwas?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 6 Stunden

Ja, sehr gut! Genau genommen kannst du noch am Ende \(=(r_1,s_1)(r_3,s_3)+(r_2,s_2)(r_3,s_3)\) schreiben   ─   mathejean vor 4 Tagen, 6 Stunden

Wegen dem distributivgesetz kann ich das noch so umschreiben?
Ne wegen der Verknüpfung auf dem Arbeitsblatt oder?
  ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 6 Stunden

Genau, weil so die Verknüpfung definiert ist. Du hast jetzt damit das Distributivgesetz bewiesen, cool!   ─   mathejean vor 4 Tagen

Super vielen lieben Dank!   ─   anonym3630b vor 4 Tagen

Kann man das auch einfach mit Worten erklären warum das kartesische Produkt von 2 Ringen auch ein Ring sein muss?   ─   anonym3630b vor 2 Tagen, 6 Stunden

Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome   ─   mathejean vor 2 Tagen, 6 Stunden

Ich meine warum immer das Produkt von zwei Ringen wieder ein Ring ist was die Begründung davon ist nicht wie man das dann nachweist?   ─   anonym3630b vor 2 Tagen, 2 Stunden

Der Nachweis ist die Begründung und wenn man geübt ist sieht man das auch sofort und da reicht dann ein Satz als Beweis   ─   mathejean vor 2 Tagen

Und welcher Satz reicht dann?   ─   anonym3630b vor 2 Tagen

Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome   ─   mathejean vor 1 Tag, 23 Stunden

Also ist es nicht möglich mit Worten zu begründen, dass ein Produkt aus 2 Ringen wieder ein Produkt ist ohne es an den axiomen nachzuweisen?   ─   anonym3630b vor 1 Tag, 23 Stunden

Es ist hier sehr offensichtlich das alle Ringaxiome gelten. Vielleicht hast du selber gemerkt, dass du bei jedem Axiom das selbe gemacht hast. Deshalb schreibt man dann nur den Satz und "die Überprüfung der Axiom ist dem Leser überlassen"   ─   mathejean vor 1 Tag, 23 Stunden

Meinst du dass man diesen Satz „ Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome“ schreibt?   ─   anonym3630b vor 1 Tag, 22 Stunden

Ja   ─   mathejean vor 1 Tag, 22 Stunden

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