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Brauche dringend Hilfe, finde keinen Ansatz...

EDIT vom 20.06.2022 um 21:42:

Stimmt das jetzt so? Oder habe ich noch etwas vergessen?

 

EDIT vom 20.06.2022 um 22:10:

wie löse ich das jetzt weiter auf?

EDIT vom 20.06.2022 um 23:17:

Stimmt das jetzt so? Beim distributivgesetz weiß ich nicht weiter...

EDIT vom 21.06.2022 um 12:34:

so müsste das jetzt stimmen? Damit wäre der Beweis dass RxS ein Ring ist fertig oder?

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Okay, dann fangen wir mit erste Axiom an, lade gerne deine Versuch hoch
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Mir fehlt leider der Ansatz, welche 3 Elemente nehme ich denn jetzt um das Assoziativgesetz der Addition zu zeigen?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 19:40

Okay, dann kann ich dir helfen! Wir brauchen drei Elemente aus \(R\times S\), die haben aber die Form \((r_i,s_i)\) mit \(r_i \in R\) und \(s_i \in S\) für \(i=1,2,3\)   ─   mathejean 20.06.2022 um 20:19

Woher nimmst du i=1,2,3?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 20:22

Wir brauchen für das Assoziativ drei Elementen   ─   mathejean 20.06.2022 um 20:24

Die kann man sich einfach selbst wählen?
Und jetzt einfach
Assoziativität bzgl.*: (1+2)+3=1+(2+3)=6 und damit ist es gezeigt oder schreibt man es anders auf?
  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 20:32

Und was mache ich mit dem Nullelement und dem Einselement?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 20:40

Also r1, r2 und s2 zum Beispiel?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 20:55

Achso ok verstehe danke.
Also schreibe ich
Assoziativgesetz der Addition:( (r1,s1)+ (r2,s2) ) + (r3,s3) = (r1,s1) +( (r2,s2) + (r3,s3) ) und damit reicht das oder?
  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 21:17

Siehe oben: stimmt das jetzt so?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 21:43

Und wie schreib ich das auf?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 21:47

Kannst du mal bitte für (A1) das richtig aufschreiben und mir so an einem Beispiel zeigen?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 21:47

Und das muss ich jetzt für jedes machen? Ok dann Versuch ich das nochmal :)   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 22:00

Siehe oben: wie fahre ich jetzt bei dem Assoziativgesetz weiter fort bzw. löse das weiter auf?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 22:11

Wie denn das? Da habe ich doch dann (r1+r2+r3, s1+s2+s3)?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 22:21

Ok ich wusste nicht dass das geht. Und dann ziehe ich nur r1,s1 raus und lasse das andere erstmal so stehen oder?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 22:48

Siehe oben: stimmt das jetzt so? Ich bräuchte beim distributivgesetz Hilfe wie ich da jetzt weitermache   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 23:18

Das sieht soweit gut aus, ich habe aber nur überflogen. Wie du siehst ist es ja sehr viel Fleißarbeit. Distributivgesetz ist soweit schonmal richtig, rechne jetzt doch mal \((r_1+r_2,s_1+s_2)\cdot (r_3,s_3)\) aus (Definition der Multiplikation vom Produkt), danach kannst du mit der Distributibität in den Ringen arbeiten.   ─   mathejean 21.06.2022 um 09:16

Also ist das dann (r1*r3 + r2*r3, s1 *r3 +s2*r3) * ( r1*s3+r2*s3, s1*s3+s2*s3) ? Ne oder?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 11:17

Nein, aber fast, du erhälst \(((r_1+r_2)r_3,(s_1+s_2)s_3)\). Man muss nur konsequent Definition verwenden   ─   mathejean 21.06.2022 um 11:39

Und wie wende ich jetzt die distributivität in Ringen an?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 11:48

In R gilt \((r_1+r_2)r_3=r_1r_3+r_2r_3\). In S analog   ─   mathejean 21.06.2022 um 12:28

Siehe oben: so müsste das jetzt stimmen oder? Und damit ist gezeigt, dass die Menge RxS ein Ring ist fertig oder fehlt noch etwas?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 12:35

Ja, sehr gut! Genau genommen kannst du noch am Ende \(=(r_1,s_1)(r_3,s_3)+(r_2,s_2)(r_3,s_3)\) schreiben   ─   mathejean 21.06.2022 um 12:43

Wegen dem distributivgesetz kann ich das noch so umschreiben?
Ne wegen der Verknüpfung auf dem Arbeitsblatt oder?
  ─   anonym3630b 21.06.2022 um 12:46

Genau, weil so die Verknüpfung definiert ist. Du hast jetzt damit das Distributivgesetz bewiesen, cool!   ─   mathejean 21.06.2022 um 18:30

Super vielen lieben Dank!   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 18:40

Kann man das auch einfach mit Worten erklären warum das kartesische Produkt von 2 Ringen auch ein Ring sein muss?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 12:24

Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome   ─   mathejean 23.06.2022 um 12:30

Ich meine warum immer das Produkt von zwei Ringen wieder ein Ring ist was die Begründung davon ist nicht wie man das dann nachweist?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 16:57

Der Nachweis ist die Begründung und wenn man geübt ist sieht man das auch sofort und da reicht dann ein Satz als Beweis   ─   mathejean 23.06.2022 um 18:44

Und welcher Satz reicht dann?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 18:55

Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome   ─   mathejean 23.06.2022 um 18:58

Also ist es nicht möglich mit Worten zu begründen, dass ein Produkt aus 2 Ringen wieder ein Produkt ist ohne es an den axiomen nachzuweisen?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 18:59

Es ist hier sehr offensichtlich das alle Ringaxiome gelten. Vielleicht hast du selber gemerkt, dass du bei jedem Axiom das selbe gemacht hast. Deshalb schreibt man dann nur den Satz und "die Überprüfung der Axiom ist dem Leser überlassen"   ─   mathejean 23.06.2022 um 19:03

Meinst du dass man diesen Satz „ Wir führen alle Operationen nur komponentenweise durch und in jeder einzelnen Komponente gelten die Ringaxiome“ schreibt?   ─   anonym3630b 23.06.2022 um 20:09

Ja   ─   mathejean 23.06.2022 um 20:26

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