Für injektiv eine schöne Betrachtung:

Beispiel Matrix mit 5 Zeilen und 3 Spalten entspricht 5 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Rang kann glücklicherweise maximal 3 sein :-)
Wenn Rang gleich 3, bedeutet 3 Gleichungen unabhängig, bedeutet genau eine Lösung, bedeutet injektiv!
(Wenn Rang kleiner, dann mehr Lösungen möglich -> nicht injektiv) 

Für surjektiv:

Wenn die Matrix die r-dimensionale Einheitsmatrix mit noch zusätzlichen beliebigen Spalten ist, dann ist ihr Rang r.
Wenn man alle Einheitsvektoren aus dem Definitionsraum da dran multipliziert, dann ist klar, dass man genau r unabhängige Vektoren bekommt, oder?
Das kannst Du sogar sehr schnell z.B. mit einer 3x5-Matrix ausrechnen! Beim Dranmultiplizieren der 5 Einheitsvektoren (des Quell-Raums) bleibt ja nur der Eintrag der Zeile, wo der Einheitsvektor nicht 0 ist. Man erhält also die 3 Einheitsvektoren (des Bild-Raums) zzgl. 2 Linearkombinationen. 

Anschließend an diese Überlegung mit der speziellen Matrix kannst Du Dir jeweils die Zeilen einer beliebigen Matrix und auch alle Vektoren aus dem Quell-Raum als Linearkombinationen der jeweiligen Einheitsvektoren vorstellen!
Wenn man nun diese Linearkombinationen aufeinander "loslässt" ergeben sich doch alle Linearkombinationen der vorherigen unabhängigen Vektoren, nicht? Das ist gleich dem kompletten Bildraum.

Nicht einleuchtend?

LG

Hallo Helene,

ich verstehe Dich so, dass Du Dir eine Vorstellung wünschst? Dann beschreibe ich mal Gedanken dazu, aber als Vorstellung! Nicht super-mathematisch exakt! :-)

Das ist im Prinzip schon richtig, was Du schreibst.

Für "das Bild von Ax" musst Du Dir nur vorstellen, dass man ALLE x aus dem Ursprungsraum anwendet, dann erhälst Du eine Menge: Bild = { y | y=Ax mit x aus Definitionsbereich }

Für die Betrachtung des Rangs ist hilfreich, zu überlegen, dass die Vektoren ja immer mit den Zeilen einer Matrix multipliziert werden (was eine Koordinate ergibt). Deshalb betrachte hierfür die Multiplikation der Zeilen mit einem Vektor.

Wenn der Rang r = Anzahl Zeilen (\(\le\) Anzahl Spalten), dann werden r unabhängige Zeilen mit dem Vektor multipliziert, was zu r unabhängigen Ergebnis-Vektoren führt. Der Zielraum hat Dimension = Anzahl Zeilen = r und damit haben wir Surjektivität.
Beispiel: Matrix mit 3 Zeilen und 5 Spalten geht vom \(\mathbb R^5\) nach \(\mathbb R^3\) und ergibt 3 unabhängige 3-dimensionale Ergebnisvektoren.

Wenn der Rang = Anzahl Spalten ist (\(\le\) Anzahl Zeilen), das kann man sich als andere Richtung der gerade geschilderten Abbildung vorstellen! Die Anzahl Spalten und Zeilen tauschen sich ja dann und entsprechend die Anzahl der Dimensionen von Quell- und Bildraum!

Wie soll dann ein Punkt mehrfach erwischt werden? Man hatte ja eine wohldefinierte Abbildung, wo ein Vektor nicht mehr als einen Bildpunkt hat :-)

Hilft?

LG