Lineare Algebra

Aufrufe: 244     Aktiv: 1 Monat, 4 Wochen her

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Hallo Leute!

Bin ich hier richtig vorgegangen? 
Ich muss überprüfen, welche Abb. skalarprodukte sind. Ich hab die c probiert, aber habe keine Ahnung, ob das stimmt. Kann mir jemand den richtigen Rechenweg zeigen? Ich habe einfach für vektoren beliebige Zahlen eingesetzt. Darf ich das so machen oder muss ich allgemein bleiben?

 

gefragt 2 Monate her
anonym
Punkte: 98

 
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2 Antworten
1

Sehr gerne :) 

Leider gibt es momentan einen Fehler bei den Zeichen > und < in Kommentaren. Deshalb schreibe ich dir nochmal eine Antwort. 

Nutze für die Beweise wirklich die Definiton des gegebenen Skalarproduktes.

Es ist ja

$$ <x,y> = \left< \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right> = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 $$

Wie sieht denn dann 

$$ <y,x> $$

aus? Setze dann mal beide Terme gleich. Dann kannst du überprüfen, ob die Gleichheit gilt.

Für die Definitheit hast du gezeigt, dass der Nullvektor Null ergibt. Allerdings musst du zeigen, dass nur der Nullvektor die Null erzeugt. Sehe auch gerade habe es in meiner Antwort nicht ganz richtig geschrieben, es ist

$$ <x,x> = 0 \Leftrightarrow x=0 $$

Nun können wir das genauso zeigen wie bei der Symmetrie. Es gilt ja

$$ <x,x> = \left< \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right> = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 2x_2x_2 $$

Wird das niemals negativ? Wenn ja wieso?

Am Ende fehlt dann nur noch die Linearität. Dafür zeigst du dann genau so

$$ <\lambda x,y> = \lambda <x,y> $$

und

$$ <x+z,y> = <x,y> + <z,y> $$

hier setzt du auch wieder ganz allgemeine Vektoren ein.

geantwortet 2 Monate her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.85K
 

Kein problem :)
Aber welche beiden terme soll ich gleichsetzen? Soll ich einfach das Skalarprodukt von ( x1 x2) * (y1 y2) ?
  ─   anonym 2 Monate her

Ich nutze jetzt mal für das Skalarprodukt eckige Klammern. Ich denke das ist übersichtlicher als wenn ich immer eine neue Antwort schreibe.
Wie sieht das Skalarprodukt
$$ \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] $$
aus? Du musst jetzt eben umgekehrt einsetzen
  ─   christian_strack 2 Monate her

y1*x1+y2*x2?   ─   anonym 2 Monate her

ne nutze die Definiton wie ich es für
$$ [x,y] $$
gemacht habe. Nur jetzt für
$$ [y,x] $$
  ─   christian_strack 2 Monate her

kommst du drauf was ich meine?   ─   christian_strack 2 Monate her

Tschuldige, aber verstanden hab ich´s immer noch nicht. meinst du´s so: < ( y1 y2), (x1 x2) > ? Ich weiß nicht wie mans eintippt, aber hoffe du verstehst was ich meine ;)
  ─   anonym 2 Monate her

ok ich zeige es dir einmal.
Es gilt ja
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 $$
Dann muss auch
$$ [y,x] = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 $$
Es ist einfach alles umgedreht.
Da nun die reellen Zahlen kommutativ sind, gilt
$$ x_i y_j = y_j x_i $$
und somit kannst du die Gleichheit zeigen.
Ist das verständlich?
  ─   christian_strack 2 Monate her

Und entschuldigen musst du dich nicht. Zusammen steigen wir schon dahinter ;)   ─   christian_strack 2 Monate her

Also der Beweis wäre ganz formal so:
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 \overset{\text{ab=ba}}{=} 2y_1x_1 - y_2x_1 - y_1x_2 + 2y_2x_2 \overset{a+b=b+a}{=} 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = [y,x] $$
  ─   christian_strack 2 Monate her

Vielen vielen Dank :). Jetzt hab ich ´s verstanden, nur hat mich diese Gleichung ziemlich verwirrt.
Und wie gehe ich vor, wenn ich die positive Definitheit und die Linearität bestimmen soll?
  ─   anonym 2 Monate her

Es gilt ja:
$$ [x,x] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 2x_2x_2 $$
fasse das mal weiter zusammen. Vielleicht fällt dir dann schon die Ähnlichkeit zu einer sehr bekannten Formel auf.
  ─   christian_strack 2 Monate her

Danke :) Also ich hab das zusammengefasst und als ergebnis bekomme ich 2x2x1=2x1x2   ─   anonym 2 Monate her

Ne ich meinte
$$ [x,x] = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 $$
woran erinnert dich das? Als Tipp: Damit wir hier die Formel wirklich anwenden können, sind zwei Vorfaktoren zu viel.
  ─   christian_strack 2 Monate her

Integral?   ─   anonym 2 Monate her

ne es ist eine binomische Formel.   ─   christian_strack 2 Monate her

Upps, sry, ich dachte wegen 2 und 1 da beim x dass du damit ein Integral meinst. Aber ja, ich seh´s   ─   anonym 2 Monate her

ok Achso :D ja ok kann ich verstehen die Verwechslung. Ne ich meinte die zweite binomische Formel. Kannst du mit ihrer Hilfe zeigen, dass dieser Term nur nichtnegative Werte liefert und nur für den Nullvektor die Null?   ─   christian_strack 2 Monate her

Muss ich nicht den Nullvektor nehmen?   ─   anonym 2 Monate her

Ne es läuft so ab
$$ 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 = x_1^2 + x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1-x_2)^2 + x_2^2 $$
warum wir das niemals negativ und warum wir das nur für den Nullvektor Null?
  ─   christian_strack 2 Monate her

Wenn ich den NV mit anderen Vektoren multipliziere dann kommt ja immer 0 heraus. Und wenn x ungleich 0 ist dann ist es immer positiv, oder?   ─   anonym 2 Monate her

Ich versteh´immer noch nicht wie man jetzt aus dieser Rechnung überprüft, ob sie ein skalarprodukt ist oder nicht. :D
  ─   anonym 2 Monate her

Es geht hier ja nur um die positive Definitheit. Wir haben hier eine Summe von 3 quadratischen Ausdrücken. Wenn wir eine negative Zahl quadrieren, dann wird diese ja auch positiv (zumindest im reellen und da befinden wir uns ja gerade). Wir haben hier also eine Summe von 3 Ausdrücken die niemals negativ werden. Deshalb kann natürlich auch die Summe niemals negativ werden.
Ist das verständlich?
Zudem gilt, wenn wir 3 Ausdrücke summieren die niemals negativ werden, dann kann die Summe auch nur Null sein, wenn alle diese Ausdrücke Null sind. Und das gilt eben nur für den Nullvektor.
Ist auch das verständlich?
Daraus folgt die positive Definitheit.

Nun haben wir Symmetrie und positive Definitheit gezeigt. Es fehlt also nur noch die Linearität. Klappt die?
  ─   christian_strack 2 Monate her

Achhh, jaaa, den ersten Absatz hab ich verstanden! Aber müssen die hier Nullvektoren sein? In diesem fall ist es ja egal, oder nicht?   ─   anonym 2 Monate her

Für die positive Definitheit müssen wir ja 2 Sachen zeigen. Das erste ist, dass das Skalarprodukt von jedem Vektor mit sich selbst niemals negativ wird. Das ist die Erklärung des ersten Absatzes.
Das zweite was gezeigt werden muss, ist dass das Skalarprodukt genau dann Null wird, wenn wir den Nullvektor einsetzen. "Genau dann" heißt in der Welt der Mathematik, dass es keine Ausnahme gibt, also eine Äquivalenz besteht. Das heißt wenn wir den Nullvektor einsetzen, erhalten wir Null und wenn wir Null erhalten, dann nur weil wir den Nullvektor eingesetzt haben. Und das wird im zweiten Abschnitt beschrieben :)
  ─   christian_strack 2 Monate her

Mega verständlich, danke!! :)
Ich probiere die Linearität noch
  ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her

Das freut mich sehr zu hören :) sehr gerne.
Kein Problem. Melde dich einfach sobald du Fragen hast oder ich drüber gucken soll.
  ─   christian_strack 1 Monat, 4 Wochen her

Vielen vielen Dank!! Muss ich dann in deine Profilseite, um Fragen zu stellen?   ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her

Ne stelle die einfach hier. Ich bekomme ja eine Benachrichtigung sobald du schreibst :)
Wollte damit nur sagen, dass ich auch noch antworte, selbst wenn du nicht sofort Zeit hast dich mit der Problematik weiter zu befassen.
  ─   christian_strack 1 Monat, 4 Wochen her

Sehr sehr nett, danke danke! :)   ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her
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Hallo,

wenn du widerlegen möchtest, dass eine dieser Abbildungen ein Skalarprodukt ist, dann reicht es ein Gegenbeispiel einer Eigenschaft zu finde. Ansonsten nein leider musst du alle diese Eigenschaften allgemein zeigen. Es reicht nicht das für zwei beliebige Vektoren zu zeigen. 

Zur positiven Definitheit: Eine Abbildung ist positiv definit, wenn

$$ <x,x> \geq 0 $$

und wenn

$$ <x,x> = 0 \Rightarrow x = 0 $$

Fangen wir mal mit der positiven Definitheit an. Was kommt denn raus für

$$ <x,x> $$

setze das mal ganz allgemein in die Definition der Abbildung ein.

Grüße Christian

geantwortet 2 Monate her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.85K
 

Danke für deine Antwort!
Ich hab meine Lösung hochgeladen. Ist das so richtig?
  ─   anonym 2 Monate her

Die Symmetrie hab ich auch nachgewiesen, indem ich einfach für x (x1 x2) für y (y1 y2) eingesetzt habe. Nur weiß ich nicht, wie ich die werte in die Gleichung einsetzen soll. (Nr. c)   ─   anonym 2 Monate her
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