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Sehr gerne :)
Leider gibt es momentan einen Fehler bei den Zeichen > und < in Kommentaren. Deshalb schreibe ich dir nochmal eine Antwort.
Nutze für die Beweise wirklich die Definiton des gegebenen Skalarproduktes.
Es ist ja
$$ <x,y> = \left< \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right> = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 $$
Wie sieht denn dann
$$ <y,x> $$
aus? Setze dann mal beide Terme gleich. Dann kannst du überprüfen, ob die Gleichheit gilt.
Für die Definitheit hast du gezeigt, dass der Nullvektor Null ergibt. Allerdings musst du zeigen, dass nur der Nullvektor die Null erzeugt. Sehe auch gerade habe es in meiner Antwort nicht ganz richtig geschrieben, es ist
$$ <x,x> = 0 \Leftrightarrow x=0 $$
Nun können wir das genauso zeigen wie bei der Symmetrie. Es gilt ja
$$ <x,x> = \left< \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right> = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 2x_2x_2 $$
Wird das niemals negativ? Wenn ja wieso?
Am Ende fehlt dann nur noch die Linearität. Dafür zeigst du dann genau so
$$ <\lambda x,y> = \lambda <x,y> $$
und
$$ <x+z,y> = <x,y> + <z,y> $$
hier setzt du auch wieder ganz allgemeine Vektoren ein.
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.72K
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Ich nutze jetzt mal für das Skalarprodukt eckige Klammern. Ich denke das ist übersichtlicher als wenn ich immer eine neue Antwort schreibe.
Wie sieht das Skalarprodukt
$$ \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] $$
aus? Du musst jetzt eben umgekehrt einsetzen ─ christian_strack 20.11.2020 um 16:50
Wie sieht das Skalarprodukt
$$ \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] $$
aus? Du musst jetzt eben umgekehrt einsetzen ─ christian_strack 20.11.2020 um 16:50
y1*x1+y2*x2?
─
anonym
20.11.2020 um 16:53
ne nutze die Definiton wie ich es für
$$ [x,y] $$
gemacht habe. Nur jetzt für
$$ [y,x] $$
─ christian_strack 20.11.2020 um 16:54
$$ [x,y] $$
gemacht habe. Nur jetzt für
$$ [y,x] $$
─ christian_strack 20.11.2020 um 16:54
kommst du drauf was ich meine?
─
christian_strack
20.11.2020 um 17:03
Tschuldige, aber verstanden hab ich´s immer noch nicht. meinst du´s so: < ( y1 y2), (x1 x2) > ? Ich weiß nicht wie mans eintippt, aber hoffe du verstehst was ich meine ;)
─ anonym 20.11.2020 um 17:12
─ anonym 20.11.2020 um 17:12
ok ich zeige es dir einmal.
Es gilt ja
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 $$
Dann muss auch
$$ [y,x] = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 $$
Es ist einfach alles umgedreht.
Da nun die reellen Zahlen kommutativ sind, gilt
$$ x_i y_j = y_j x_i $$
und somit kannst du die Gleichheit zeigen.
Ist das verständlich? ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:23
Es gilt ja
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 $$
Dann muss auch
$$ [y,x] = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 $$
Es ist einfach alles umgedreht.
Da nun die reellen Zahlen kommutativ sind, gilt
$$ x_i y_j = y_j x_i $$
und somit kannst du die Gleichheit zeigen.
Ist das verständlich? ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:23
Und entschuldigen musst du dich nicht. Zusammen steigen wir schon dahinter ;)
─
christian_strack
20.11.2020 um 17:24
Also der Beweis wäre ganz formal so:
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 \overset{\text{ab=ba}}{=} 2y_1x_1 - y_2x_1 - y_1x_2 + 2y_2x_2 \overset{a+b=b+a}{=} 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = [y,x] $$ ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:26
$$ [x,y] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + 2x_2y_2 \overset{\text{ab=ba}}{=} 2y_1x_1 - y_2x_1 - y_1x_2 + 2y_2x_2 \overset{a+b=b+a}{=} 2y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + 2y_2x_2 = \left[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = [y,x] $$ ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:26
Vielen vielen Dank :). Jetzt hab ich ´s verstanden, nur hat mich diese Gleichung ziemlich verwirrt.
Und wie gehe ich vor, wenn ich die positive Definitheit und die Linearität bestimmen soll? ─ anonym 20.11.2020 um 17:53
Und wie gehe ich vor, wenn ich die positive Definitheit und die Linearität bestimmen soll? ─ anonym 20.11.2020 um 17:53
Es gilt ja:
$$ [x,x] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 2x_2x_2 $$
fasse das mal weiter zusammen. Vielleicht fällt dir dann schon die Ähnlichkeit zu einer sehr bekannten Formel auf. ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:55
$$ [x,x] = \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right] = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 2x_2x_2 $$
fasse das mal weiter zusammen. Vielleicht fällt dir dann schon die Ähnlichkeit zu einer sehr bekannten Formel auf. ─ christian_strack 20.11.2020 um 17:55
Danke :) Also ich hab das zusammengefasst und als ergebnis bekomme ich 2x2x1=2x1x2
─
anonym
20.11.2020 um 19:22
Ne ich meinte
$$ [x,x] = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 $$
woran erinnert dich das? Als Tipp: Damit wir hier die Formel wirklich anwenden können, sind zwei Vorfaktoren zu viel. ─ christian_strack 20.11.2020 um 19:24
$$ [x,x] = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 $$
woran erinnert dich das? Als Tipp: Damit wir hier die Formel wirklich anwenden können, sind zwei Vorfaktoren zu viel. ─ christian_strack 20.11.2020 um 19:24
Integral?
─
anonym
20.11.2020 um 19:32
ne es ist eine binomische Formel.
─
christian_strack
20.11.2020 um 22:37
Upps, sry, ich dachte wegen 2 und 1 da beim x dass du damit ein Integral meinst. Aber ja, ich seh´s
─
anonym
20.11.2020 um 22:50
ok Achso :D ja ok kann ich verstehen die Verwechslung. Ne ich meinte die zweite binomische Formel. Kannst du mit ihrer Hilfe zeigen, dass dieser Term nur nichtnegative Werte liefert und nur für den Nullvektor die Null?
─
christian_strack
20.11.2020 um 23:06
Muss ich nicht den Nullvektor nehmen?
─
anonym
22.11.2020 um 11:53
Ne es läuft so ab
$$ 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 = x_1^2 + x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1-x_2)^2 + x_2^2 $$
warum wir das niemals negativ und warum wir das nur für den Nullvektor Null? ─ christian_strack 22.11.2020 um 12:36
$$ 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 = x_1^2 + x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1-x_2)^2 + x_2^2 $$
warum wir das niemals negativ und warum wir das nur für den Nullvektor Null? ─ christian_strack 22.11.2020 um 12:36
Wenn ich den NV mit anderen Vektoren multipliziere dann kommt ja immer 0 heraus. Und wenn x ungleich 0 ist dann ist es immer positiv, oder?
─
anonym
23.11.2020 um 11:48
Ich versteh´immer noch nicht wie man jetzt aus dieser Rechnung überprüft, ob sie ein skalarprodukt ist oder nicht. :D
─ anonym 23.11.2020 um 12:06
─ anonym 23.11.2020 um 12:06
Es geht hier ja nur um die positive Definitheit. Wir haben hier eine Summe von 3 quadratischen Ausdrücken. Wenn wir eine negative Zahl quadrieren, dann wird diese ja auch positiv (zumindest im reellen und da befinden wir uns ja gerade). Wir haben hier also eine Summe von 3 Ausdrücken die niemals negativ werden. Deshalb kann natürlich auch die Summe niemals negativ werden.
Ist das verständlich?
Zudem gilt, wenn wir 3 Ausdrücke summieren die niemals negativ werden, dann kann die Summe auch nur Null sein, wenn alle diese Ausdrücke Null sind. Und das gilt eben nur für den Nullvektor.
Ist auch das verständlich?
Daraus folgt die positive Definitheit.
Nun haben wir Symmetrie und positive Definitheit gezeigt. Es fehlt also nur noch die Linearität. Klappt die? ─ christian_strack 23.11.2020 um 13:20
Ist das verständlich?
Zudem gilt, wenn wir 3 Ausdrücke summieren die niemals negativ werden, dann kann die Summe auch nur Null sein, wenn alle diese Ausdrücke Null sind. Und das gilt eben nur für den Nullvektor.
Ist auch das verständlich?
Daraus folgt die positive Definitheit.
Nun haben wir Symmetrie und positive Definitheit gezeigt. Es fehlt also nur noch die Linearität. Klappt die? ─ christian_strack 23.11.2020 um 13:20
Achhh, jaaa, den ersten Absatz hab ich verstanden! Aber müssen die hier Nullvektoren sein? In diesem fall ist es ja egal, oder nicht?
─
anonym
23.11.2020 um 14:36
Für die positive Definitheit müssen wir ja 2 Sachen zeigen. Das erste ist, dass das Skalarprodukt von jedem Vektor mit sich selbst niemals negativ wird. Das ist die Erklärung des ersten Absatzes.
Das zweite was gezeigt werden muss, ist dass das Skalarprodukt genau dann Null wird, wenn wir den Nullvektor einsetzen. "Genau dann" heißt in der Welt der Mathematik, dass es keine Ausnahme gibt, also eine Äquivalenz besteht. Das heißt wenn wir den Nullvektor einsetzen, erhalten wir Null und wenn wir Null erhalten, dann nur weil wir den Nullvektor eingesetzt haben. Und das wird im zweiten Abschnitt beschrieben :) ─ christian_strack 23.11.2020 um 15:00
Das zweite was gezeigt werden muss, ist dass das Skalarprodukt genau dann Null wird, wenn wir den Nullvektor einsetzen. "Genau dann" heißt in der Welt der Mathematik, dass es keine Ausnahme gibt, also eine Äquivalenz besteht. Das heißt wenn wir den Nullvektor einsetzen, erhalten wir Null und wenn wir Null erhalten, dann nur weil wir den Nullvektor eingesetzt haben. Und das wird im zweiten Abschnitt beschrieben :) ─ christian_strack 23.11.2020 um 15:00
Mega verständlich, danke!! :)
Ich probiere die Linearität noch ─ anonym 24.11.2020 um 20:09
Ich probiere die Linearität noch ─ anonym 24.11.2020 um 20:09
Das freut mich sehr zu hören :) sehr gerne.
Kein Problem. Melde dich einfach sobald du Fragen hast oder ich drüber gucken soll. ─ christian_strack 24.11.2020 um 20:14
Kein Problem. Melde dich einfach sobald du Fragen hast oder ich drüber gucken soll. ─ christian_strack 24.11.2020 um 20:14
Vielen vielen Dank!! Muss ich dann in deine Profilseite, um Fragen zu stellen?
─
anonym
25.11.2020 um 15:22
Ne stelle die einfach hier. Ich bekomme ja eine Benachrichtigung sobald du schreibst :)
Wollte damit nur sagen, dass ich auch noch antworte, selbst wenn du nicht sofort Zeit hast dich mit der Problematik weiter zu befassen. ─ christian_strack 25.11.2020 um 15:45
Wollte damit nur sagen, dass ich auch noch antworte, selbst wenn du nicht sofort Zeit hast dich mit der Problematik weiter zu befassen. ─ christian_strack 25.11.2020 um 15:45
Sehr sehr nett, danke danke! :)
─
anonym
26.11.2020 um 16:19
Aber welche beiden terme soll ich gleichsetzen? Soll ich einfach das Skalarprodukt von ( x1 x2) * (y1 y2) ? ─ anonym 20.11.2020 um 16:37