Nochmal etwas allgemeiner:

Sei \(B\) der Bereich, über den du integrieren willst, \(\psi\) die Parametrisierung mit \(\psi:\; D \to B, \; \mathbf{y} \mapsto \psi({\mathbf{y}})\) mit Funktionaldeterminante  \(\det J_{\psi}(\mathbf{y})\) und \(f: \; B \to \mathbb{R},\; \mathbf{x} \mapsto f(\mathbf{x}) \).

Das Bereichsintegral lässt sich nun wiefolgt transformieren (\(B = \psi(D)\)):

\[\displaystyle \int_{B}{f(\mathbf{x})\;\mathrm{d}\mathbf{x}} = \int_D{f(\psi(\mathbf{y})) |\det J_{\psi}(\mathbf{y})| \;\mathrm{d}\mathbf{y}}\]

Für die Berechnung der Fläche eines Bereichs \(B\) kann nun einfach \(f:\; \mathbf{x} \mapsto 1\) gewählt werden.