Gleichung mit komplexen Zahlen lösen

Erste Frage Aufrufe: 183     Aktiv: 02.04.2023 um 15:21

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Hallo zusammen,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Finden Sie alle Lösungen $z\in\mathbb{C}$ der folgenden Gleichung:
$$(2z-1)^2(2\bar{z}+1)=4z(2z-1).$$

Mein Lösungsansatz der mich nicht wirklich weiterbringt:
Zuerst durch $(2z-1)$ dividieren und den Fall ($z=1/2$) gesondert betrachten.
$$\Rightarrow (2z-1)(2\bar{z}+1)=4z.$$
Danach ausmultiplizieren: $$4z\bar{z}+2(z-\bar{z})-1=4z$$. Wobei wir wissen, dass für die komplexe Zahl $z=a+bi$, $z\bar{z}=a^2+b^2$ und $z-\bar{z}=2bi$ ist.
$$\Rightarrow 4(a^2+b^2)+4bi-1 = 4a+4bi$$.
Danach tritt jetzt mein Problem auf: Da sich $4bi$ auf beiden Seiten wegkürzt habe ich nur mehr 1 Gleichung und nicht 2, wie bei vielen dieser Aufgaben.
Also $$4(a^2+b^2)-1=4a$$.
Hat jemand eine Idee, wo das Problem liegt?
Danke!
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Generell sind (polynomielle) Gleichungen, die sowohl $z$ als auch $\bar{z}$ beinhalten, sehr "wild". Da kann alles passieren - keine Lösung, unendliche viele Lösungen oder auch nur endliche viele. Polynomielle Gleichungen hingegen mit nur $z$ haben hingegen immer endlich viele Lösungen.   ─   crystalmath 02.04.2023 um 15:21
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Es gibt hier kein Problem, die Gleichung hat halt unendlich viele Lösungen. Für jedes mögliche $a$ gibt es zwei mögliche $b$'s, und man muss nun noch finden, für welche $a$'s das geht.
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