Der Fehler ist beim Exponentieren: Du bist bei \(\ln(x^2+2x)-1=\ln(2x)\), das ist korrekt. Wenn du jetzt Exponentierst, kommst du auf $$e^{\ln(x^2+2x)-1}=e^{\ln(2x)}$$ Die rechte Seite ist einfach, das vereinfacht sich zu \(2x\). Aber die linke Seite ist nicht einfach \(x^2+2x-e\), du hast wahrscheinlich jeden Summanden einzeln in einen Exponenten geschrieben. Mit den Rechenregeln für Potenzen gilt \(e^{\ln(x^2+2x)-1}=e^{\ln(x^2+2x)}\cdot e^{-1}=\frac1e\cdot e^{\ln(x^2+2x)}=\frac1e(x^2+2x)\). Insgesamt kommst du also auf \(\frac1e(x^2+2x)=2x\), das ist eine quadratische Gleichung, die du wie gewohnt lösen kannst:
Zunächst multiplizieren wir mit \(e\), um den Bruch loszuwerden: \(x^2+2x=2ex\Longleftrightarrow x^2+2x-2ex=0\Longleftrightarrow x^2+(2-2e)x=0\) Jetzt kannst du entweder Mitternachtsformel machen (der konstante Term ist einfach 0), oder du erkennst, dass \(x=0\) eine Lösung ist, danach kannst du durch \(x\) teilen und erhälst eine lineare Gleichung, die du einfach nach \(x\) umstellen kannst. Dann hast du zwei Lösungen. Eine davon ist allerdings nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung, die fällt also weg.

1/e *(x^2+2x) = 2x 
1/ex^2 +2/e * x -2x =0 / * e 
x^2 + 2 x- 2e x = 0 
x^2 + 2x ( 1-e ) = 0 
x * ( x + 2 -2e ) = 0 
x 1 = 0 
x 2 = -2 + 2e