Nullstellen von Logarithmusgleichungen

Aufrufe: 43     Aktiv: 04.02.2021 um 17:28

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Es sollen die Nullstellen von f(x) = ln(x^2 +2x) -1 -ln(2x) = 0
Ich stelle um und erhalte ln(x^2 +2x) -1 = ln(2x), dann exponiere ich mit e und erhalte:
x^2 +2x - e = 2x
Durch umstellen komme ich nun auf x^2 = e.
Die Lösung sollte aber 3,4356... sein, jedoch ist kein Lösungsweg angegeben. Wo ist mein Denkfehler?
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2 Antworten
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Der Fehler ist beim Exponentieren: Du bist bei \(\ln(x^2+2x)-1=\ln(2x)\), das ist korrekt. Wenn du jetzt Exponentierst, kommst du auf $$e^{\ln(x^2+2x)-1}=e^{\ln(2x)}$$ Die rechte Seite ist einfach, das vereinfacht sich zu \(2x\). Aber die linke Seite ist nicht einfach \(x^2+2x-e\), du hast wahrscheinlich jeden Summanden einzeln in einen Exponenten geschrieben. Mit den Rechenregeln für Potenzen gilt \(e^{\ln(x^2+2x)-1}=e^{\ln(x^2+2x)}\cdot e^{-1}=\frac1e\cdot e^{\ln(x^2+2x)}=\frac1e(x^2+2x)\). Insgesamt kommst du also auf \(\frac1e(x^2+2x)=2x\), das ist eine quadratische Gleichung, die du wie gewohnt lösen kannst:
Zunächst multiplizieren wir mit \(e\), um den Bruch loszuwerden: \(x^2+2x=2ex\Longleftrightarrow x^2+2x-2ex=0\Longleftrightarrow x^2+(2-2e)x=0\) Jetzt kannst du entweder Mitternachtsformel machen (der konstante Term ist einfach 0), oder du erkennst, dass \(x=0\) eine Lösung ist, danach kannst du durch \(x\) teilen und erhälst eine lineare Gleichung, die du einfach nach \(x\) umstellen kannst. Dann hast du zwei Lösungen. Eine davon ist allerdings nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung, die fällt also weg.
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@stal ich wollte nur anmerken, dass du an dem Punkt wo du exponentierst aus \(x^2+2x\) auf einmal \(x^2-2x\) gemacht hast :)   ─   maqu 04.02.2021 um 15:43

Danke erstmal für die schnelle Antwort, das mit den Potenzgesetzen leuchtet mir jetzt ein, ich habe leider immernoch keine Ahnung wie ich nun auf die Lösung x = 2(e-1) kommen soll . Bei einer quadratischen Gleichung hätte ich doch zusätzlich zu x^2 und x noch eine ganze Zahl? Vielleicht steh ich auch gerade einfach auf dem Schlauch... :/   ─   anonym 04.02.2021 um 16:46

@maqu Danke!
@anonym ich hab meine Antwort noch erweitert, hoffe es ist jetzt klarer.
  ─   stal 04.02.2021 um 17:04

Super, danke! x = 0 ist keine Lösung da man in den ln niemals 0 für x einsetzen darf, dass sollte man sich einfach merken, dass gilt ja dann immer oder?   ─   anonym 04.02.2021 um 17:19

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Genau.   ─   stal 04.02.2021 um 17:28

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1/e *(x^2+2x) = 2x 
1/ex^2 +2/e * x -2x =0 / * e 
x^2 + 2 x- 2e x = 0 
x^2 + 2x ( 1-e ) = 0 
x * ( x + 2 -2e ) = 0 
x 1 = 0 
x 2 = -2 + 2e
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Danke! Laut Lösung sollte es allerdings nur eine Nullstelle geben   ─   anonym 04.02.2021 um 17:04

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