Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Tennisspiel-Gewinn

Aufrufe: 82     Aktiv: 29.05.2021 um 00:26

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Hallo,

bei der Aufgabe geht es darum, dass Person A mit einer Wahrscheinlichkeit p gegen Person B gewinnt. Es werden so viele Sätze hintereinander gespielt, bis einer von beiden 2 hintereinander gewinnt. Man soll berechnen wie viele Spiele im Mittel zustande kommen.

Ich habe bisher zwei Formeln zum berechnen der Ws, einmal für gerade Anzahl der Sätze und einmal für eine ungerade Anzahl.

W(2k)= \( p^{k-1} * q^{k-1} * p^2 + q^{k-1} * p^{k-1} * q^2\) //gerade

W(2k+1)= \( p^k * q^{k-1} * p^2 + q^k * p^{k-1} * q^2 \) //ungearde

Die Frage ist jetzt, wie ich damit auf eine allgemeine Formel komme, um den Erwartungswert auszurechnen.
Kann mir da jemand weiterhelfen?

 

Danke im vorraus!

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Man nehme an es werden \(n\) Sätze gespielt, \(p\) sei die Siegwahrscheinlichkeit von Spieler A und \(q\) die von Spieler B.

\(W(n)\) gibt die Chance an, dass das Spiel nach dem n-ten Satz beendet ist.

Es folgt also:
\(W(2) = p^2 \space + \space q^2\)
\(W(3) = q\cdot p^2 \space + \space p\cdot q^2\)
\(W(4) = p\cdot q\cdot p^2 \space + \space q\cdot p\cdot q^2 = q\cdot p^3 + p\cdot q^3\)
\(W(5) = q\cdot p\cdot q\cdot p^2 \space + \space p\cdot  q\cdot p\cdot q^2 = q^2\cdot p^3 + p^2\cdot q^3\)
\(W(6) = p\cdot q\cdot p\cdot q\cdot p^2 \space + \space q\cdot p\cdot  q\cdot p\cdot q^2 = q^2\cdot p^4 + p^2\cdot q^4\)

Es folgt daher die Regel für \(k \in \mathbb{N} \):
\(W_1(k) = W(2k) = p^{k+1}\cdot q^{k-1} + q^{k+1}\cdot p^{k-1}\)
\(W_2(k) = W(2k+1) = q^{k}\cdot p^{k+1} + p^{k}\cdot q^{k+1}\)

Der Erwartungswert für dieses Beispiel ist wie folgt definiert:
\( E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} W_1(i)\cdot 2i \space + \space W_2(i)\cdot (2i+1)\)

Weiter wüsste ich jetzt per Hand auch nicht, man müsste jetzt ja das Konvergenzverhalten untersuchen, da bin ich aber nicht mehr so sicher drin.
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