Man nehme an es werden \(n\) Sätze gespielt, \(p\) sei die Siegwahrscheinlichkeit von Spieler A und \(q\) die von Spieler B.

\(W(n)\) gibt die Chance an, dass das Spiel nach dem n-ten Satz beendet ist.

Es folgt also:
\(W(2) = p^2 \space + \space q^2\)
\(W(3) = q\cdot p^2 \space + \space p\cdot q^2\)
\(W(4) = p\cdot q\cdot p^2 \space + \space q\cdot p\cdot q^2 = q\cdot p^3 + p\cdot q^3\)
\(W(5) = q\cdot p\cdot q\cdot p^2 \space + \space p\cdot  q\cdot p\cdot q^2 = q^2\cdot p^3 + p^2\cdot q^3\)
\(W(6) = p\cdot q\cdot p\cdot q\cdot p^2 \space + \space q\cdot p\cdot  q\cdot p\cdot q^2 = q^2\cdot p^4 + p^2\cdot q^4\)

Es folgt daher die Regel für \(k \in \mathbb{N} \):
\(W_1(k) = W(2k) = p^{k+1}\cdot q^{k-1} + q^{k+1}\cdot p^{k-1}\)
\(W_2(k) = W(2k+1) = q^{k}\cdot p^{k+1} + p^{k}\cdot q^{k+1}\)

Der Erwartungswert für dieses Beispiel ist wie folgt definiert:
\( E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} W_1(i)\cdot 2i \space + \space W_2(i)\cdot (2i+1)\)

Weiter wüsste ich jetzt per Hand auch nicht, man müsste jetzt ja das Konvergenzverhalten untersuchen, da bin ich aber nicht mehr so sicher drin.