Es geht also um Polynome mit Grad höchstens zwei. Diese sind stetig, dann ist auch \(f^2\) immer stetig und \(f^2\geq0\). Ein Satz der Analysis ist: Ist \(g:[0,1]\to\mathbb R_0^+\) stetig, dann folgt \(\int_0^1g(x)\,dx=0\Longrightarrow g=0\).

Der Beweis funktioniert per Widerspruch. Angenommen, es gäbe einen Punkt \(x\in(0,1)\) (die Randpunkte behandeln wir später extra) mit \(g(x)>0\). Wegen der Stetigkeit gibt es dann ein \(\delta>0\), sodass \((x-\delta,x+\delta)\subseteq(0,1)\) und \(g(y)\geq\frac12g(x)\) für alle \(y\in(x-\delta,x+\delta)\). Das ist eine einfache Folgerung aus der Definition der Stetigkeit. Dann folgt aber mit der Monotonie des Integrals $$\int_0^1g(y)\,dy\geq\int_{x-\delta}^{x+\delta}g(y)\,dy\geq\int_{x-\delta}^{x+\delta}\frac12g(x)\,dy=\delta g(x)>0,$$ Widerspruch. Damit haben wir \(g=0\) auf \((0,1)\). Wegen der Stetigkeit muss dann auch \(g(0)=0=g(1)\) sein, also \(g=0\), was zu zeigen war.