Integral=0 => Funktion=0

Aufrufe: 36     Aktiv: 21.04.2021 um 13:25

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Hallo!

Ich möchte die Positive Definitheit eines Skalarprodukts überprüfen und muss jetzt noch zeigen, dass F(a,a)=0 a=0 impliziert.
Also muss ich jetzt zeigen, dass
\(\int_0^1 f(x)^2dx=0  => f=0\)
Kann mir da jemand einen Tipp geben? Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll. Oder ist die Implikation eh klar?

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Um welche Menge geht es denn? Ist \(f\) z.B. stetig? Für allgemeine integrierbare Funktionen gilt das nämlich nicht.   ─   stal 21.04.2021 um 13:03

Ich habe mal ein Bild von V und dem Skalaprodukt hinzugefügt, die Aufgabe ist eine andere.
Mir ist grundsätzlich klar, wie ich mir das vorstellen kann, ich weiß nur nicht, wie ich es zeigen soll.
  ─   lunaphile 21.04.2021 um 13:07

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Es geht also um Polynome mit Grad höchstens zwei. Diese sind stetig, dann ist auch \(f^2\) immer stetig und \(f^2\geq0\). Ein Satz der Analysis ist: Ist \(g:[0,1]\to\mathbb R_0^+\) stetig, dann folgt \(\int_0^1g(x)\,dx=0\Longrightarrow g=0\).

Der Beweis funktioniert per Widerspruch. Angenommen, es gäbe einen Punkt \(x\in(0,1)\) (die Randpunkte behandeln wir später extra) mit \(g(x)>0\). Wegen der Stetigkeit gibt es dann ein \(\delta>0\), sodass \((x-\delta,x+\delta)\subseteq(0,1)\) und \(g(y)\geq\frac12g(x)\) für alle \(y\in(x-\delta,x+\delta)\). Das ist eine einfache Folgerung aus der Definition der Stetigkeit. Dann folgt aber mit der Monotonie des Integrals $$\int_0^1g(y)\,dy\geq\int_{x-\delta}^{x+\delta}g(y)\,dy\geq\int_{x-\delta}^{x+\delta}\frac12g(x)\,dy=\delta g(x)>0,$$ Widerspruch. Damit haben wir \(g=0\) auf \((0,1)\). Wegen der Stetigkeit muss dann auch \(g(0)=0=g(1)\) sein, also \(g=0\), was zu zeigen war.
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Vielen Dank!   ─   lunaphile 21.04.2021 um 13:25

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