Vollständigkeit von (halb)-normiertem Raum zeigen.

Aufrufe: 215     Aktiv: vor 5 Monaten, 3 Wochen

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Moin,

Ich versuche folgende Aussage zu beweisen:
Sei \((X, \Vert \cdot \Vert)\) ein normierter oder halbnormierter Raum. Dann gilt
\(X\) ist vollständing \(\iff\) Jede absolut konvergente Reihe in \(X\) konvergiert in \(X\).
Die Hinrichtung habe ich schon bewiesen, bei der Rückrichtung bin ich mir noch unsicher, mein Ansatz ist folgender:

Sei \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) beliebige Cauchyfolge aus \(X\). Dann gilt \(\forall \varepsilon > 0 :  \exists N\in\mathbb N \) mit  \(\Vert x_n - x_m \Vert < \varepsilon, \forall m,n \geq N\) .
Sei \(d_k:= \Vert x_k - x_{k+1}\Vert \). Dann gilt \(\forall k \geq N\), dass \(d_k < (\frac{1}{2})^k\).
Damit ist \( \displaystyle\sum_{k \in \mathbb N} d_k < \displaystyle \sum_{k=1}^N d_k + \displaystyle \sum_{k>N} (\frac{1}{2})^k =: c\).
Daraus folgt dann dass \(\displaystyle \sum_{k\in \mathbb N} \Vert x_k -x_{k+1} \Vert\) konvergiert. Daraus folgt mit der Annahme, dass auch \(\bigg \Vert\displaystyle \sum_{k \in \mathbb N} x_k-x_{k+1} \bigg \Vert := c^* \) konvergiert.
Es gilt: \(c^* = \bigg \Vert\displaystyle \sum_{k \in \mathbb N} x_k-x_{k+1} \bigg \Vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \bigg \Vert\sum_{k = 1}^n x_k - x_{k+1}\bigg \Vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \Vert x_1- x_{n+1}\Vert\).
Reicht das aus für die Konvergenz von \((x_n)\) in \(X\)? Ich bin mir unsicher.

 

gefragt vor 5 Monaten, 3 Wochen
c
chrispy,
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2 Antworten
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Denke das sollte so passen. Kannst ja nochmal drüberschauen.

geantwortet vor 5 Monaten, 3 Wochen
benesalvatore
Student, Punkte: 3K
 

Jo, sieht gut aus, danke.   ─   chrispy, vor 5 Monaten, 3 Wochen
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Sehe nicht wieso es ein \(N\in\mathbb{N}\) geben soll, so dass für \(k\geq N\) gilt: \(d_k<2^{-k}\). Es gilt doch nur für ein fixes \(\varepsilon >0\), dass so ein \(N\) exisitert, aber bei dir hängt das \(\varepsilon\) ja von \(k\) ab.

geantwortet vor 5 Monaten, 3 Wochen
benesalvatore
Student, Punkte: 3K
 

Ja hast recht, besser wäre es wahrscheinlich eine Teilfolge \(x_{n_k} \) zu betrachten mit \(d_k := \Vert x_{n_k} - x_{n_{k+1}} \Vert\). Den Rest könnte ich dann aber analog machen? Oder einfach \(N := N(k)\) setzen. Folgt denn aus meine letzten Zeile wirklich die Konvergenz von \(x_n\) in \(X\)?   ─   chrispy, vor 5 Monaten, 3 Wochen
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