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Tatsächlich gibt es einen schnelleren Weg: Sobald du zwei Punkte im Schnitt der Ebene hast, kannst du daraus ja die Schnittgerade aufstellen. Wir müssen also nur zwei Punkte finden, die auf beiden Ebenen liegen. Dazu setzen wir für eine beliebige Variable in beiden Gleichungen eine beliebige Zahl ein und lösen dann das verbleibende Gleichungssystem für die anderen beiden Variablen. So erhalten wir einen Punkt. Dann wiederholen wir das Gnze für eine andere Variable/Zahl.
Beispiel:
\(E_1\colon x_1+x_2+x_3=0,\qquad E_2\colon2x_1-x_2=7.\)
Setzen wir z.B. \(x_1=0\), erhalten wir das System
\(\begin{align}x_2+x_3&=0,\\-x_2&=7.\end{align}\)
Nachdem wir dieses gelöst haben, erhalten wir den Punkt \((0,-7,7)\), der also auf beiden Ebenen liegt. Wiederholen wir dieses Verfahren z.B. für \(x_1=1\), erhalten wir als zweiten Punkt \((1,-5,4)\). Jetzt müssen wir nur noch die Gerade durch diese beiden Punkte aufstellen, und erhalten unsere Schnittgerade
\(s\ \colon\ \overrightarrow X=\begin{pmatrix}0\\-7\\7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix},\qquad\lambda\in\mathbb R.\)
Noch ein paar Anmerkungen zum Abschluss:
- Man muss sich eigentlich nur merken, dass man zwei Punkte finden muss, wie das geht, sollte einleuchtend sein. Ich finde das einfacher als die Umwandlung in Parameterform, aber das ist vermutlich Geschmackssache.
- Man sollte unbedingt zuerst überprüfen, ob die Ebenen parallel zueinander sind, denn dann haben die Gleichungssysteme keine Lösung.
- Auch wenn die Ebenen nicht parallel sind, kann man Pech haben und ein Gleichungssystem kann keine Lösung haben (das passiert sehr selten in degenerierten Fällen), dann einfach für eine andere Variable einen Wert festlegen.
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