Herzlich Willkommen bei mathefragen.de!

Zunächst einmal hat man sich in der zweiten Zeile offensichtlich verschrieben es muss $c_2\cdot (4\cdot 2^{2k}-4\cdot 2^k)$ heißen!

Im ersten Schritt hat man die $4$ mit der Klammer ausmultipliziert und im ersten Summanden statt $4=2^2$ geschrieben. Somit konnte man statt $4\cdot 2^{2k}=2^2\cdot 2^{2k}=2^{2k+2}$ mit Hilfe der Potenzgesetze umschreiben. Das gleiche passiert dann auch im korrigierten Term. Im letzten Schritt wird dann bloß im Exponenten eine $2$ ausgeklammert.

Ist dir dann klar wie der Rest dann noch zusammengefasst wird, also wie man $c_2\cdot (-4\cdot 2^k+2\cdot 2^k)$ zusammenfasst? Als Tipp schreibe jeweils in die Potenz $2^{k+1}$ um.