Hallo,

wir haben als Störfunktion

$$ s(x) = x^3 $$

Diese kann man interpretieren als

$$ s(x) = e^{0x} \cdot x^3 $$

also eine Polynomfunktion vom Grad \( 3 \) und einer Exponentialfunktion \( e^{\lambda x} \) mit \( \lambda = 0 \). 
Da die charakteristische Gleichung unserer homogenen DGL ebenfalls Null als Nullstelle hat, müssen wir den Ansatz noch etwas anpassen

$$ y_p(x) = e^{0x} \cdot x \cdot ( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3) = a_0 x + a_1 x^2 + a_2 x^3 + a_3 x^4 $$

Diese Funktion leitest du nun 2x ab und setzt sie in die inhomogene DGL ein. Durch Koeffizientenvergleich kannst du dann die \(a_i \) bestimmen.

Grüße Christian